Cette grandiose découverte de l’uniformisation ne pouvait manquer de provoquer dans la suite les recherches, sinon de géomètres nombreux — il n’est pas donné à tous de pouvoir s’attaquer à un pareil sujet — du moins des plus habiles.
Poincaré lui-même y est revenu, mettant à profit pour simplifier et préciser le résultat autant que la démonstration, les progrès que ses propres découvertes avaient fait faire à la théorie du potentiel et, en particulier, sa méthode du « balayage ».
Ce n’est pas la seule contribution que Poincaré ait apportée à la théorie des fonctions non uniformes. Tout d’abord, c’est à lui qu’on doit la limitation, — au sens de la théorie des ensembles sur laquelle nous reviendrons un peu plus loin — de la multiplicité des valeurs que peut prendre une telle fonction pour une valeur unique de la
variable et aussi des représentations locales (voir p. 485) qui suffisent à faire connaître cette fonction : limitation essentielle d’ailleurs au second raisonnement par lequel il a établi le théorème d’uniformisation.
De plus, il a indiqué une méthode permettant d’établir que toute fonction analytique z — en général, non uniforme, — de la variable x peut être définie par une équation de la forme G(x,z) = 0, où G est une fonction entière : progrès moins essentiel peut-être que le théorème d’uniformisation, mais, néanmoins, extension importante aux fonctions transcendantes de la propriété fondamentale des fonctions algébriques.
Mais cette méthode est en relation avec les travaux dont nous avons à parler en second lieu, et qui concernent l’étude des FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.
Pour celle-ci plus encore que pour la précédente, on peut dire que les impulsions décisives viennent de Poincaré.
Dans cet ordre d’idées un seul théorème, le « Vorbereitungssalz », a été établi par Weierstrass[1]. Encore resta-t-il, comme beaucoup d’autres, connu seulement du cercle restreint des auditeurs de ce savant et ne fut-il publié par Weierstrass qu’en 1886.
Il peut n’être pas inutile dans ces conditions de noter que les
- ↑ Il remonte même à Cauchy, comme l’a fait voir M. Lindelöf.
