La théorie des fonctions de variables imaginaires a été, depuis sa création — même pour Poincaré qui, nous le verrons, enseignera à rompre cette tradition — , l’un des principaux auxiliaires du Calcul infinitésimal.
Tout d’abord, c’est grâce à elle que, comme nous l’avons dit plus haut, le problème des quadratures peut être considéré comme résolu.
Le type le plus classique et le plus achevé de cette solution est (comme nous devons le rappeler d’un mot avant de parler des fonctions fuchsiennes) celle qu’on obtient lorsque la fonction dont on cherche l’intégrale est algébrique : on est alors conduit, suivant les cas, à la théorie des fonctions elliptiques ou à celle des fonctions abéliennes.
Toutes deux reposent, dans les idées actuelles, sur la notion de périodicité — de double périodicité, s’il s’agit des fonctions elliptiques — à tel point que l’analyse moderne laisse complètement de côté, au premier abord, le problème d’intégration posé, et prend pour point de départ l’étude générale des fonctions doublement périodiques d’une variable. Parmi celles-là, on découvre ensuite sans peine les solutions du problème en question.
La double périodicité se montre ici, en effet, un auxiliaire beaucoup plus puissant que la périodicité simple dans le cas élémentaire des fonctions trigonométriques. Une fonction elliptique peut se comparer à ces papiers peints dont il suffit de connaître un seul losange (qu’on appelle, dans ce cas, le parallélogramme des périodes), tout le reste n’en étant qu’une répétition indéfinie. Cette circonstance fournit à elle seule toute la théorie : y compris, ce qui est l’essentiel, l’expression des fonctions cherchées par des séries — les séries thêta — de forme connue et simple et de convergence très rapide.
Les choses se passent de même à l’introduction près de séries thêta qui contiennent plusieurs variables au lieu d’une seule, lorsque de la théorie des fonctions elliptiques on passe à celle des fonctions abéliennes.
