Mais le problème général des équations différentielles est autrement difficile. Les petites régions dont nous parlions ne peuvent même plus être considérées indépendamment les unes des autres. On doit les ranger dans un ordre déterminé, et les calculs relatifs à l’une d’elles ne peuvent être commencés sans qu’on ait exécuté jusqu’au bout ceux qui concernent la précédente. En général, il arrive même qu’on ignore a priori jusqu’à l’amplitude des pas successifs que l’on peut ainsi effectuer, c’est-à-dire jusqu’aux dimensions des régions partielles successives : c’est ce que l’on ne connaît qu’au moment même où l’on atteint chacune d’elles.
Les difficultés dont nous venons de parler s’aggravent encore — et même, nous le verrons, d’autres toutes différentes apparaissent, si, au lieu de n’avoir à considérer qu’une variable indépendante, en général, le temps — (équations différentielles ordinaires), on est obligé de faire intervenir concurremment, non seulement différents instants voisins, mais différents points voisins de l’espace, c’est-à-dire si l’on est conduit à des équations aux dérivées partielles.
L’intégration des équations différentielles et aux dérivées partielles est restée jusqu’ici le problème central de la mathématique moderne. Elle en restera vraisemblablement encore l’un des problèmes capitaux, même si la Physique poursuit vers le discontinu l’évolution qui se dessine à l’heure actuelle.
La théorie des équations différentielles fut aussi la première à attirer l’attention de Poincaré. Elle fait l’objet de sa Thèse (1879).
Notons cependant que, sous l’influence du maître qui gouverna la génération précédente, j’ai nommé Hermite, le débutant ne craignait pas de suivre presque au même moment une voie pour ainsi dire opposée à la première, celle de l’Arithmétique.
La Thèse de Poincaré contient déjà sur les équations différentielles un résultat d’une forme remarquable, destiné à être plus tard pour lui un puissant levier dans ses recherches de mécanique céleste. Dès ce premier travail, il était, d’autre part, conduit à augmenter les ressources de la Théorie des Fonctions.
Celle-ci allait, presque immédiatement après, lui devoir une de ses plus belles conquêtes : c’est en 1880 qu’éclatèrent, — pour reprendre un mot prononcé à cette occasion, — les fonctions fuchsiennes.
