Page:Poincaré - Thermodynamique (ed. 1908).djvu/70

Si nous y remplaçons les dérivées partielles de T par leurs valeurs, nous avons

$R\Theta dT=\Theta pdv+\Theta vdp,\,$

et par conséquent, en additionnant avec l'égalité (11),

$dQ+R\Theta dT=CdT+\Theta pdv.\,$

Le premier membre est une différentielle exacte, car, d'une part, $dQ$ en est une d'après l'hypothèse de conservation du calorique, et, d'autre part, $R\Theta dT$ doit également l'être puisque $\Theta$ est une fonction de $T$ seulement ; par conséquent le second membre est une différentielle exacte. Nous avons donc, en prenant $T$ et $v$ comme variables indépendantes,

${\frac {dC}{dv}}={\frac {d\Theta p}{dT}},$

ou, en remplaçant $p$ par la valeur tirée de la relation fondamentale,

${\frac {dC}{dv}}={\frac {R}{v}}{\frac {d\Theta T}{dT}}.$

Si nous intégrons par rapport à $v$ nous obtenons

$C=R{\frac {d\Theta T}{dT}}\log v+\varphi (T).$

47.

Après avoir démontré cette formule, Carnot ajoute que les expériences semblent prouver que $C$ est indépendant de la température. Considérant ces expériences comme peu probantes il ne chercha pas les conséquences de leur résultat. Il aurait pu cependant en déduire la valeur de la fonction $f(T_{1},T_{2})$.