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Voyons cependant à quelles conséquences il aurait été conduit s'il avait entrepris cette recherche.

Considérons trois isothermes AB, CD, EF (Fig. 5) correspondant aux trois températures $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$ et coupées par deux adiabatiques AE et BF ; nous obtenons ainsi trois cycles de Carnot ABCD, CDFE et ABFE. Soient $\tau$ et $\tau '$ les travaux accomplis par un corps qui décrit le premier et le second ; le travail correspondant au troisième sera $\tau +\tau '$. Soient encore $Q_{1}$, $Q_{2}$, $Q_{3}$ les quantités de chaleur empruntées par un corps lorsque le point représentatif de son état décrit les isothermes AB, CD, EF. Quand le corps décrit le cycle ABCD, il emprunte donc une quantité de chaleur $Q_{1}$ à une source à température $T_{1}$ et en cède une quantité $Q_{2}$ à une source à température $T_{2}$ ; par suite $Q_{1}=Q_{2}$ si l'on admet l'indestructibilité du calorique. Pour la même raison $Q_{2}=Q_{3}$. Posons $Q_{1}=Q_{2}=Q_{3}=Q$.

Nous avons alors pour les coefficients économiques des trois cycles de la figure

${\begin{aligned}{\frac {\tau }{Q}}&=f(T_{1},T_{2}),\\{\frac {\tau '}{Q}}&=f(T_{2},T_{3}),\\{\frac {\tau +\tau '}{Q}}&=f(T_{1},T_{3}).\end{aligned}}$

Nous en déduisons

$f(T_{1},T_{2})=f(T_{1},T_{3})-f(T_{2},T_{3}),\,$

et, si nous regardons $T_{3}$ comme une constante,

$f(T_{1},T_{2})=f(T_{1})-f(T_{2}).\,$