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que de la position de leur point d'application ; mais $dx$, $dy$, $dz$ changent de signe par suite l'élément différentiel

$Xdx+Ydy+Zdz$

change également de signe. La variation de force vive lorsque le point matériel revient à sa position initiale est donc alors $-I$, c'est-à-dire positive. Or, d'après ce qui précède, cette variation positive entraînerait la possibilité du mouvement perpétuel. Par conséquent, $-I$ ne peut être positif, c'est-à-dire que $I$ ne peut être négatif.

Cette quantité ne pouvant être ni positive ni négative est donc nécessairement nulle.

12.

Il résulte immédiatement de là que la variation de force vive, lorsque le point passe de la position $M_{0}$ à la position $M$, est indépendante du chemin décrit pour passer de l'une à l'autre de ces positions.

Soient, en effet, deux chemins quelconques $M_{0}P_{1}M$ et $M_{0}P_{2}M$ (Fig. 1) pour lesquels les variations de force vive sont respectivement $I_{1}$ et $I_{2}$. Appelons $I'$ cette variation quand le point passe de $M$ en $M_{0}$ par le chemin $MP'M_{0}$.