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à la condition précédente et dont les composantes sont $X,Y,Z$.

La variation de la demi-force vive de ce point pour un déplacement élémentaire est, d’après le théorème des forces vives,

$dW=Xdx+Ydy+Zdz.\,$

Si le point considéré passe de la position $M_{0}$, à la position M, la variation $W-W_{0}$ de sa demi-force vive est donnée par

$W-W_{0}=\int (Xdx+Ydy+Zdz),$

l'intégrale étant prise le long de la courbe décrite par le point mobile. Dans le cas où le mobile revient à sa position initiale $M_{0}$, l'intégration doit alors être prise le long d’une courbe fermée ${\mathcal {C}}$ ; soit alors $I$ la valeur de cette intégrale.

11.

Montrons que $I$ est nul.

D'abord $I$ ne peut être positif. En effet, s’il en était ainsi, la demi-force vive augmenterait de $I$ lorsque le point matériel décrit la courbe ${\mathcal {C}}$ ; en lui faisant parcourir $n$ fois cette courbe l'augmentation serait $nI$. On pourrait donc faire croître indéfiniment la force vive et, si on l'employait a accomplir un travail, on obtiendrait le mouvement perpétuel, ce qui est contraire au principe de Galilée.

D’autre part, $I$ ne peut être négatif. En effet, si nous assujettissons le point mobile à décrire la courbe ${\mathcal {C}}$ en sens inverse du précédent, les composantes $X$, $Y$, $Z$ de la force reprennent en chaque point les mêmes valeurs que dans le sens primitif, puisque par hypothèse $X$, $Y$, $Z$ ne dépendent