ou, puisque
de sorte que nos 4 invariants (5) deviennent :
et nos 4 invariants (7) :
Dans la seconde de ces expressions j’ai écrit
au lieu de
parce que
est multiplié par
et que je néglige le carré de
D’autre part, la loi de Newton nous donnerait, pour ces 4 invariants (7),
Si donc nous appelons
et
le 2det le 3e des invariants (5), et
les 3 premiers invariants (7), nous satisferons à la loi de Newton, aux termes près de l’ordre du carré des vitesses, en faisant :
(8)
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|
Cette solution n’est pas unique. Soit en effet
le 4e invariant (5),
est de l’ordre du carré de
et il en est de même de
Nous pourrions donc ajouter aux 2ds membres de chacune des équations (8) un terme formé de
multiplié par une fonction arbitraire de
et un terme formé de
multiplié également par une fonction de
Au premier abord, la solution (8) paraît la plus simple, elle ne peut néanmoins être adoptée ; en effet, comme
sont des fonctions de
et de
on peut tirer de ces trois équations (8) les valeurs de
mais dans certains cas ces valeurs deviendraient imaginaires.
Pour éviter cet inconvénient, nous opérerons d’une autre manière. Posons :
ce qui est justifié par l’analogie avec la notation
qui figure dans la substitution de Lorentz.
Dans ce cas, et à cause de la condition
les invariants (5) deviennent :