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On sait qu’on peut les intégrer par les potentiels retardés et qu’on a :

(2)

$\psi ={\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\rho _{1}d\tau }{r}},\quad F={\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\rho _{1}\xi _{1}d\tau _{1}}{r}}.$

Dans ces formules on a :

$d\tau _{1}=dx_{1}dy_{1}dz_{1},\quad r^{2}=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2},$

tandis que $\rho _{1}$ et $\xi _{1}$ sont les valeurs de $\rho$ et de $\xi$ au point $x_{1},$ $y_{1},$ $z_{1},$ et à l’instant

$t_{1}=t-r.$

Soient : $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}$ les coordonnées d’une molécule d’électron à l’instant $t\,;$

ses coordonnées à l’instant $t\,;$

$x_{1}=x_{0}+U,\quad y_{1}=y_{0}+V,\quad z_{1}=z_{0}+W$

ses coordonnées à l’instant $t_{1}.$

$U,$ $V,$ $W$ sont des fonctions de $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0},$ de sorte que nous pourrons écrire :

$dx_{1}=dx_{0}+{\frac {dU}{dx_{0}}}dx_{0}+{\frac {dU}{dy_{0}}}dy_{0}+{\frac {dU}{dz_{0}}}dz_{0}+\xi _{1}dt_{1};$

et si l’on suppose $t$ constant, ainsi que $x,$ $y$ et $z:$

$dt_{1}=+\sum {\frac {x-x_{1}}{r}}dx_{1}.$

Nous pouvons donc écrire :

$dx_{1}\left(1+\xi _{1}{\frac {x_{1}-x}{r}}\right)+dy_{1}\xi _{1}{\frac {y_{1}-y}{r}}+dz_{1}\xi _{1}{\frac {z_{1}-z}{r}}=dx_{0}\left(1+{\frac {dU}{dx_{0}}}\right)+dy_{0}{\frac {dU}{dy_{0}}}+dz_{0}{\frac {dU}{dz_{0}}}$

avec les deux autres équations qu’on peut en déduire par permutation circulaire.

Nous avons donc :

(3)

$d\tau _{1}\left\vert 1+\xi _{1}{\frac {x_{1}-x}{r}},\quad \xi _{1}{\frac {y_{1}-y}{r}},\quad \xi _{1}{\frac {z_{1}-z}{r}}\right\vert =d\tau _{0}\left\vert 1+{\frac {dU}{dx_{0}}},\quad {\frac {dU}{dy_{0}}},\quad {\frac {dU}{dz_{0}}}\right\vert ,$

en posant

$d\tau _{0}=dx_{0}dy_{0}dz_{0}.$

Étudions les déterminants qui figurent dans les deux membres de (3) et d’abord dans le 1^er membre ; si on cherche à le développer, on voit que les termes du 2^d et du 3^e degré par rapport à $\xi _{1},$ $\eta _{1},$ $\zeta _{1}$ disparaissent et que le déterminant est égal à

$1+\xi _{1}{\frac {x_{1}-x}{r}}+\eta _{1}{\frac {y_{1}-y}{r}}+\zeta _{1}{\frac {z_{1}-z}{r}}=1+\omega ,$

$\omega$ désignant la composante radiale de la vitesse $\xi _{1},$ $\eta _{1},$ $\zeta _{1},$ c’est-à-dire la composante dirigée suivant le rayon vecteur qui va du point $x,$ $y,$ $z$ au point $x_{1},$ $y_{1},$ $z_{1}.$

Pour obtenir le 2^d déterminant, j’envisage les coordonnées des différentes molécules de l’électron à un instant $t^{\prime },$ qui est le même pour toutes les molécules, mais de telle façon que pour la molécule que j’envisage on ait $t_{1}=t_{1}^{\prime }.$ Les coordonnées d’une molécule seront alors :

$x_{1}^{\prime }=x_{0}+U^{\prime },\quad y_{1}^{\prime }=y_{0}+V^{\prime },\quad z_{1}^{\prime }=z_{0}+W^{\prime },$