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$x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}:$

$\Delta ={\frac {\partial (x,\ y,\ z)}{\partial (x_{0},\ y_{0},\ z_{0})}}.$

Si $\epsilon ,$ $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}$ restant constants nous donnons à $t$ un accroissement $\partial t,$ il en résultera pour $x,$ $y,$ $z$ des accroissements $\partial x,$ $\partial y,$ $\partial z,$ et pour $\Delta$ un accroissement $\partial \Delta ,$ et on aura :

$\partial x=\xi \partial t,\quad \partial y=\eta \partial t,\quad \partial z=\zeta \partial t,$ $\Delta +\partial \Delta ={\frac {\partial (x+\partial x,\ y+\partial y,\ z+\partial z)}{\partial (x_{0},\ y_{0},\ z_{0})}};$

d’où

$1+{\frac {\partial \Delta }{\Delta }}={\frac {\partial (x+\partial x,\ y+\partial y,\ z+\partial z)}{\partial (x,\ y,\ z)}}={\frac {\partial (x+\xi \partial t,\ y+\eta \partial t,\ z+\zeta \partial t)}{\partial (x,\ y,\ z)}}.$

On en déduit :

(12)

${\frac {1}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial t}}={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}.$

La masse de chaque électron étant invariable, on aura :

(13)

${\frac {\partial \rho \Delta }{\partial t}}=0,$

d’où :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum \rho {\frac {d\xi }{dx}}=0,\quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {d\rho }{dt}}+\sum \xi {\frac {d\rho }{dx}},\quad {\frac {d\rho }{dt}}+\sum {\frac {d\rho \xi }{dx}}=0.$

Telles sont les différentes formes de l’équation de continuité en ce qui concerne la variable $t.$ Nous trouvons des formes analogues en ce qui concerne la variable $\epsilon .$ Soit :

$\delta U={\frac {\partial U}{\partial \epsilon }}\delta \epsilon ,\quad \delta V={\frac {\partial V}{\partial \epsilon }}\delta \epsilon ,\quad \delta W={\frac {\partial W}{\partial \epsilon }}\delta \epsilon ;$

il viendra :

(11bis)

$\delta U={\frac {dU}{d\epsilon }}\delta \epsilon +\delta U{\frac {dU}{dx}}+\delta V{\frac {dU}{dy}}+\delta W{\frac {dU}{dz}},$

(12bis)

${\frac {1}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial \epsilon }}=\sum {\frac {\partial U}{\partial \epsilon }},\quad {\frac {\partial \rho \Delta }{\partial \epsilon }}=0,$

(13bis)

$\delta \epsilon {\frac {\partial \rho }{\partial \epsilon }}+\sum \rho {\frac {d\delta U}{dx}}=0,\quad {\frac {\partial \rho }{\partial \epsilon }}={\frac {d\rho }{d\epsilon }}+\sum {\frac {\delta U}{\delta \epsilon }}{\frac {d\rho }{dx}},\quad \delta \rho +{\frac {d\rho \delta U}{dx}}=0.$

On remarquera la différence entre la définition de $\delta U={\frac {\partial U}{\partial \epsilon }}\delta \epsilon$ et celle de $\delta \rho ={\frac {d\rho }{d\epsilon }}\delta \epsilon ;$ on remarquera que c’est bien cette définition de $\delta U$ qui convient à la formule (10).

Cette dernière équation va nous permettre de transformer le 1^er terme de (9) ; nous trouvons en effet :

$\int dt\ d\tau \ \psi \delta \rho =-\int dt\ d\tau \ \psi \sum {\frac {d\rho \delta U}{dx}},$