et la seconde intégrale est nulle. Comme
doit s’annuler, on doit avoir :
(8)
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Il reste donc dans le cas général :
(9)
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Il reste à déterminer les forces qui agissent sur les électrons. Pour cela nous devons supposer qu’on applique à chaque élément d’électron une force complémentaire
et écrire que cette force fait équilibre aux forces d’origine électromagnétique. Soit
les composantes du déplacement de l’élément
d’électron, déplacement compté à partir d’une position initiale quelconque. Soient
,
les variations de ce déplacement ; le travail virtuel correspondant de la force complémentaire sera :
de sorte que la condition d’équilibre dont nous venons de parler s’écrira :
(10)
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Il s’agit de transformer
Pour cela commençons par chercher l’équation de continuité exprimant que la charge d’un électron se conserve par la variation.
Soient
la position initiale d’un électron. Sa position actuelle sera :
Nous introduirons en outre une variable auxiliaire
qui produira les variations de nos diverses fonctions, de sorte que, pour une fonction
quelconque, on ait :
Il me sera commode en effet de pouvoir passer de la notation du calcul des variations, à celle du calcul différentiel ordinaire, ou inversement.
Nos fonctions pourront être regardées : 1o soit comme dépendant des cinq variables
de telle sorte qu’on reste toujours à la même place quand
et
varient seuls : nous désignerons alors leurs dérivées par des
ordinaires ; 2o soit comme dépendant des cinq variables
de telle sorte qu’on suive toujours un même électron quand
et
varient seuls ; nous désignerons alors leurs dérivées par des
ronds. On aura alors :
(11)
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Désignons maintenant par
le déterminant fonctionnel de
,
par rapport à