3o Il faut p conditions pour déterminer la position de cette figure dans l’espace.
Le nombre des géométries compatibles avec ces prémisses sera limité.
Je puis même ajouter que si n est donné, on peut assigner à p une limite supérieure.
Si donc on admet la possibilité du mouvement, on ne pourra inventer qu’un nombre fini (et même assez restreint) de géométries à trois dimensions.
Les géométries de Riemann. — Cependant ce résultat semble contredit par Riemann, car ce savant construit une infinité de géométries différentes, et celle à laquelle on donne ordinairement son nom n’en est qu’un cas particulier.
Tout dépend, dit-il, de la façon dont on définit la longueur d’une courbe. Or il y a une infinité de manières de définir cette longueur, et chacune d’elles peut devenir le point de départ d’une nouvelle géométrie.
Cela est parfaitement exact, mais la plupart de ces définitions sont incompatibles avec le mouvement d’une figure invariable, que l’on suppose possible dans le théorème de Lie. Ces géométries de Riemann, si intéressantes à divers titres, ne pourraient donc jamais être que purement analytiques et ne se prêteraient pas à des démonstrations analogues à celles d’Euclide.
Les Géométries de Hilbert. — Enfin M. Veronese et M. Hilbert ont imaginé de nouvelles géométries plus étranges encore, qu’ils appellent non-archi-
