et on la fait tourner autour du point A jusqu’à ce qu’elle vienne dans le prolongement de AB.
On suppose ainsi deux propositions : d’abord qu’une pareille rotation est possible, et ensuite qu’elle peut se continuer jusqu’à ce que les deux droites viennent dans le prolongement l’une de l’autre.
Si l’on admet le premier point et que l’on rejette le second, on est conduit à une suite de théorèmes encore plus étranges que ceux de Lobatchevsky et de Riemann, mais également exempts de contradiction.
Je ne citerai qu’un de ces théorèmes et je ne choisirai pas le plus singulier : une droite réelle peut être perpendiculaire à elle-même.
Le Théorème de Lie. — Le nombre des axiomes implicitement introduits dans les démonstrations classiques est plus grand qu’il ne serait nécessaire, et on cherche à le réduire au minimum. M. Hilbert semble avoir donné la solution définitive de ce problème. On pouvait a priori se demander d’abord si cette réduction est possible, si le nombre des axiomes nécessaires et celui des géométries imaginables n’est pas infini.
Un théorème de M. Sophus Lie domine toute cette discussion. On peut l’énoncer ainsi :
Supposons qu’on admette les prémisses suivantes :
1o L’espace a n dimensions ;
2o Le mouvement d’une figure invariable est possible.
