ment abandonnés on laisse encore debout quelques propositions communes aux théories d’Euclide, de Lobatchevsky et de Riemann. Ces propositions doivent reposer sur quelques prémisses que les géomètres admettent sans les énoncer. Il est intéressant de chercher à les dégager des démonstrations classiques.
Stuart Mill a prétendu que toute définition contient un axiome, puisqu’en définissant on affirme implicitement l’existence de l’objet défini. C’est aller beaucoup trop loin ; il est rare qu’en mathématiques on donne une définition sans la faire suivre par la démonstration de l’existence de l’objet défini, et quand on s’en dispense, c’est généralement que le lecteur y peut aisément suppléer. Il ne faut pas oublier que le mot existence n’a pas le même sens quand il s’agit d’un être mathématique et quand il est question d’un objet matériel. Un être mathématique existe, pourvu que sa définition n’implique pas contradiction, soit en elle-même, soit avec les propositions antérieurement admises.
Mais si l’observation de Stuart Mill ne saurait s’appliquer à toutes les définitions, elle n’en est pas moins juste pour quelques-unes d’entre elles. On définit quelquefois le plan de la manière suivante :
Le plan est une surface telle que la droite qui joint deux quelconques de ses points est tout entière sur cette surface.
Cette définition cache manifestement un nouvel axiome ; on pourrait, il est vrai, la changer, et
