mètres ont tirées de leurs hypothèses, ils ont dû s’arrêter avant de les avoir toutes épuisées, car le nombre en serait infini ; qui nous dit alors que s’ils avaient poussé plus loin leurs déductions, ils n’auraient pas fini par arriver à quelque contradiction ?
Cette difficulté n’existe pas pour la géométrie de Riemann, pourvu qu’on se borne à deux dimensions ; la géométrie de Riemann à deux dimensions ne diffère pas en effet, nous l’avons vu, de la géométrie sphérique, qui n’est qu’une branche de la géométrie ordinaire et qui est par conséquent en dehors de toute discussion.
M. Beltrami, en ramenant de même la géométrie de Lobatchevsky à deux dimensions à ne plus être qu’une branche de la géométrie ordinaire, a réfuté également l’objection en ce qui la concerne
Voici comment il y est parvenu. Considérons sur une surface une figure quelconque. Imaginons que cette figure soit tracée sur une toile flexible et inextensible appliquée sur cette surface, de telle façon que quand la toile se déplace et se déforme, les diverses lignes de cette figure puissent changer de forme, sans changer de longueur. En général, cette figure flexible et inextensible ne pourra se déplacer sans quitter la surface ; mais il y a certaines surfaces particulières pour lesquelles un pareil mouvement serait possible : ce sont les surfaces à courbure constante.
Si nous reprenons la comparaison que nous fai-
