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qu’ils ont obtenues, et pour ne pas chercher d’autre exemple, nous avons tout à l’heure démontré l’égalité :
a + 1 = 1 + a,
et nous nous en sommes servi ensuite pour établir l’égalité
a + b = b + a,
qui est manifestement plus générale.
Les mathématiques peuvent donc comme les autres sciences procéder du particulier au général.
Il y a là un fait qui nous aurait paru incompréhensible au début de cette étude, mais qui n’a plus pour nous rien de mystérieux, depuis que nous avons constaté les analogies de la démonstration par récurrence avec l’induction ordinaire.
Sans doute le raisonnement mathématique récurrent et le raisonnement physique inductif reposent sur des fondements différents, mais leur marche est parallèle, ils vont dans le même sens, c’est-à-dire du particulier au général.
Examinons la chose d’un peu plus près.
Pour démontrer l’égalité :
| (1) | a + 2 = 2 + a, |
il nous suffit d’appliquer deux fois la règle
a + 1 = 1 + a,
et d’écrire :
| (2) | a + 2 = a + 1 + 1 = 1 + a + 1 = 1 + 1 + a = 2 + a. |
