tration proprement dite, vous répondra-t-il, c’est une vérification ». On s’est borné à rapprocher l’une de l’autre deux définitions purement conventionnelles et on a constaté leur identité ; on n’a rien appris de nouveau. La vérification diffère précisément de la véritable démonstration, parce qu’elle est purement analytique et parce qu’elle est stérile. Elle est stérile parce que la conclusion n’est que la traduction des prémisses dans un autre langage. La démonstration véritable est féconde au contraire parce que la conclusion y est en un sens plus générale que les prémisses.
L’égalité 2 + 2 = 4 n’a été ainsi susceptible d’une vérification que parce qu’elle est particulière. Tout énoncé particulier en mathématiques pourra toujours être vérifié de la sorte. Mais si la mathématique devait se réduire à une suite de pareilles vérifications, elle ne serait pas une science. Ainsi un joueur d’échecs, par exemple, ne crée pas une science en gagnant une partie. Il n’y a de science que du général.
On peut même dire que les sciences exactes ont précisément pour objet de nous dispenser de ces vérifications directes.
III
Voyons donc le géomètre à l’œuvre et cherchons à surprendre ses procédés.
La tâche n’est pas sans difficulté ; il ne suffit pas
