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et

$(12)\left\{{\begin{aligned}\varphi {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}&=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-u){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-v){\sqrt {-1}}}\ldots \psi {\frac {d\mathrm {U} }{du}}d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots ,\\\varphi {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}&=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-u){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-v){\sqrt {-1}}}\ldots \psi {\frac {d\mathrm {V} s}{dt}}d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots ,\\{\text{etc}}.&\ldots \\\varphi {\frac {d\mathrm {T} }{dt}}&=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-u){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-v){\sqrt {-1}}}\ldots \psi {\frac {d\mathrm {W} }{dt}}d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots \end{aligned}}\right.$

Enfin, on aura

(13)

$f(x,y,z\ldots t)=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-u){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-v){\sqrt {-1}}}\ldots$

${\sqrt {\mathrm {L} ^{2}}}f(u,v,\ldots t)d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots$

Cela posé, on satisfera évidemment à l’équation (7), en posant

(14)

$\left[\left(\mathrm {U-W} {\frac {du}{dt}}\right)\alpha {\sqrt {-1}}+\left(\mathrm {V-W} {\frac {dv}{dt}}\right)\beta {\sqrt {-1}}+\ldots +\mathrm {S} -{\frac {d\mathrm {U} }{du}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dv}}\ldots \right]\psi +\mathrm {W} {\frac {d\psi }{dt}}$

$={\sqrt {\mathrm {L} ^{2}}}f(u,v,\ldots t).$

Pour que cette dernière équation se vérifie, sans que $u,v,\ldots$ deviennent fonctions de $\alpha ,\beta \ldots ,$ il est nécessaire que l’on ait

(15)

$\mathrm {U-W} {\frac {du}{dt}}=0,\qquad \mathrm {V-W} {\frac {dv}{dt}}=0,\quad {\text{etc}}\ldots$

et

(16)

$\left(\mathrm {S} -{\frac {d\mathrm {U} }{du}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dv}}\ldots \right)\psi +\mathrm {W} {\frac {d\psi }{dt}}=f(u,v,\ldots t).{\sqrt {\mathrm {L} ^{2}}}.$

Si l’on veut en outre que $\varphi$ se réduise à

(17)

$f_{0}(x,y\ldots )=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-\mu ){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-\nu ){\sqrt {-1}}}\ldots$

$f_{0}(\mu ,\nu ,\ldots t)d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots$

pour $t=t_{0},$ il suffira d’admettre que cette supposition réduit