Supposons donc que le facteur
satisfasse à l’équation différentielle du second ordre
![{\displaystyle {\frac {n}{\mathrm {K} }}\sigma +{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1bf2e5ea0443c9d60714225b48210ab0ea2c28)
de même que la fonction
satisfait à l’équation
![{\displaystyle {\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2131ced6c9ea4ac9da23c868ea54446606b514ab)
et
étant des coëfficients constants. On aura
![{\displaystyle {\frac {n-m}{\mathrm {K} }}\int (\sigma u\,dx)=\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\omega }-\left({\frac {du}{dx}}\sigma -u{\frac {d\sigma }{dx}}+u{\frac {\sigma }{x}}\right)_{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9547c25762f17608ccde74a2b789d6a314a4f3e4)
Il existe entre
et
une relation très-simple, qui se découvre lorsque, dans l’équation
![{\displaystyle {\frac {n}{\mathrm {K} }}\sigma +{\frac {d^{2}\sigma }{dx^{2}}}-{\frac {d\left({\frac {\sigma }{x}}\right)}{dx}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba8f6e5cf84d462c0826b657a9a8819fef1b9be2)
on suppose
On
par le résultat de cette substitution, l’équation
![{\displaystyle {\frac {n}{\mathrm {K} }}s+{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {ds}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae1ba503893c8046c52576e49413865ed2f4c3b)
ce qui fait voir que la fonction
dépend de la fonction
donnée par l’équation
![{\displaystyle {\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32501dd59a0a8cd6206aa6a046f0259533e39f4e)
il suffit pour trouver
de changer
en
dans la valeur de
Or on a vu précédemment que
est une fonction de
que nous avons désignée par
c’est pour-