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$f$ et $\operatorname {F}$ étant les deux fonctions arbitraires que comporte l’intégrale complète de l’équation (10), d’après la forme de cette équation.

Il est aisé de faire disparaitre les imaginaires qui entrent dans cette expression de $z\,;$ il suffit, pour cela, de mettre à la place de $\alpha$ et $\beta ,$ ${\frac {\alpha }{\sqrt {+{\sqrt {-1}}}}}$ et ${\frac {\beta }{\sqrt {+{\sqrt {-1}}}}}$ dans la première intégrale, et ${\frac {\alpha }{\sqrt {-{\sqrt {-1}}}}}$ et ${\frac {\beta }{\sqrt {-{\sqrt {-1}}}}}$ dans la seconde ; changeant en outre les exponentielles imaginaires, en sinus et cosinus d’arcs réels, il vient

${\begin{aligned}z=\iint &sin.(\alpha ^{2}+\beta ^{2})f\left(x+2\alpha {\sqrt {bt}},\,y+2\beta {\sqrt {bt}}\right)d\alpha \,d\beta \\&+\iint cos.(\alpha ^{2}+\beta ^{2})\operatorname {F} \left(x+2\alpha {\sqrt {bt}},\,y+2\beta {\sqrt {bt}}\right)d\alpha \,d\beta \,;\end{aligned}}$

$f$ et $\operatorname {F}$ sont des fonctions arbitraires qui ne sont pas les mêmes que les précédentes ; mais les limites des intégrales n’ont pas changé, et sont toujours $\alpha =\pm {\frac {1}{0}},$ $\beta =\pm {\frac {1}{0}}.$

On donnera encore une autre forme à cette expression de $z,$ en faisant

$x+2\alpha {\sqrt {bt}}=p,\qquad y+2\beta {\sqrt {bt}}=q\,;$

ce qui la change en celle-ci :

${\begin{aligned}z=&{\frac {1}{4bt}}\iint f(p,q)sin.\left({\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}\right)dp\,dq\\&+{\frac {1}{4bt}}\iint \operatorname {F} (p,q)cos.\left({\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}\right)dp\,dq.\end{aligned}}$

J’avais déja donné, sous ces différentes formes, l’intégrale de l’équation (10) ; M. Fourrier a aussi integré cette équation, par d’autres moyens, dans un mémoire sur les vibra-