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son intégrale complète est

$u=\varphi \left(x-t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)+\psi \left(x+t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)\,;$

$\varphi$ et $\psi$ désignant les deux fonctions arbitraires. On en déduit, pour la vîtesse et la dilatation de la tranche fluide qui répond à la distance quelconque $x,$

${\begin{aligned}{\frac {du}{dt}}=&-\left(\varphi '\left(x-t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)-\psi '\left(x+t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)\right){\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}},\\{\frac {du}{dx}}=&\left(\varphi '\left(x-t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)+\psi '\left(x+t{\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\right)\right){\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}\,;\end{aligned}}$

où l’on a fait, pour abréger,

${\frac {d\varphi }{dx}}=\varphi ',\qquad {\frac {d\psi }{dx}}=\psi '.$

(49) Le coëfficient du temps sous les fonctions arbitraires, exprimera la vîtesse avec laquelle le mouvement se propage dans le liquide que l’on considère ; en sorte qu’en appelant $a'$ cette vîtesse, on aura

$a'={\sqrt {\frac {\beta }{\delta }}}.$

Elle dépendra donc de la quantité $\beta \,;$ or, on peut déterminer la valeur de $\beta ,$ d’après la contraction de l’eau pour une augmentation donnée de pression ; car, en représentant par $k,$ la hauteur d’une colonne d’eau sous une pression connue, et désignant par $\varepsilon$ la petite diminution de cette hauteur, pour une augmentation $\Delta$ de pression, on conclura, de l’expression générale de $p,$

$\Delta =\beta {\frac {\varepsilon }{k}}.$