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$f'(l+l'-y)-\operatorname {F} '(l+l'+y)=k\left(f'(l+l'-y)+\operatorname {F} '(l+l'+y)\right)\,:$

comme elle a lieu pour toutes les valeurs positives de $y,$ on y peut mettre $y+l'$ à la place de $y\,;$ et alors on en déduit

$f'(l-y)={\frac {1+k}{1-k}}\operatorname {F} '(l+2l'+y).$

D’ailleurs, les équations (12) donnent

$\left.{\begin{alignedat}{2}2cf'(l-y)&=(1+c)f(l-y)&&+(1-c)\operatorname {F} (l+y),\\2c\operatorname {F} '(l+y)&=(1-c)f(l-y)&&+(1+c)\operatorname {F} (l+y)\,;\end{alignedat}}\right\}(13)$

mettant donc $y+2l'$ à la place de $y$ dans la seconde, et éliminant ensuite les fonctions $f'$ et $\operatorname {F} ',$ entre ces deux équations et la précédente, il vient

$\left.{\begin{aligned}(1+c)(1-k)f(l-y)-(1-c)(1+k)f(l-2l'-y)=\quad &\\(1+c)(1+k)\operatorname {F} (l+2l'+y)-(1-c)(1-k)\operatorname {F} (1+y).&\end{aligned}}\right\}(14)$

Représentons par $\varphi t$ la vîtesse de la première tranche fluide, que nous regardons comme donnée arbitrairement pendant toute la durée du mouvement ; cette tranche étant celle qui répond à $x=0,$ nous aurons

$f(-y)+\operatorname {F} y=\varphi t.$

Substituant $y+2l'$ à la place de $y,$ ou $t+{\frac {2l'}{a}}$ à la place de $t,$ ce qui est permis, on aura

$f(-y-2l')+\operatorname {F} (y+2l')=\varphi \left({\frac {at+2l'}{a}}\right)\,;$

et si l’on met de même $y+l$ à la place de $y$ dans l’équation $(14),$ on pourra ensuite éliminer $f(-y)$ et $f(-y-2l'),$