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Pour cela, reprenons l’équation $(9),$ où nous ferons $k=0,$ ce qui donne $b=-1\,;$ de plus, supposons qu’à l’origine du mouvement, le fluide était en repos, et n’éprouvait aucune condensation dans toute sa longueur : dans cette hypothèse, nous aurons, en vertu des équations $(8),$ $\operatorname {F} x=0$ et $\operatorname {F} (2l-x)=0,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=l\,;$ d’où il résulte $\operatorname {F} z=0,$ depuis $z=0$ jusqu’à $z=2l\,;$ et l’équation $(9)$ deviendra, en conséquence,

$\operatorname {F} (2(i+1)l+z)=\varphi \left({\frac {2il+z}{a}}\right)-\varphi \left({\frac {2(i-1)l+z}{a}}\right)+\varphi \left({\frac {2(i-2)l+z}{a}}\right)$

$-\varphi \left({\frac {2(i-3)l+z}{a}}\right)+\ldots +(-1)^{i}\varphi \left({\frac {z}{a}}\right).$

Nous nous bornerons, pour abréger, à considérer la vîtesse du fluide à l’extrémité du tube opposée à l’embouchure. Faisant donc $k=0$ et $x=l,$ dans la première équation $(8),$ nous aurons

$v=2\operatorname {F} (at+l)\,;$

où l’on voit d’abord que cette vîtesse est nulle depuis $t=0$ jusqu’à $t={\frac {l}{a}}\,;$ ce qui est, en effet, l’intervalle de temps nécessaire pour que le premier ébranlement du fluide se propage d’un bout à l’autre du tube. Si l’on suppose que le temps soit devenu plus grand que ${\frac {l}{a}},$ et que l’on mette $t+{\frac {l}{a}}$ à la place de $t,$ on aura

$v=2\operatorname {F} (at+2l)=2\operatorname {F} \left(2(i+1)l+z\right)\,;$

par conséquent, la vîtesse $v,$ à partir de l’instant où elle cesse d’être nulle, sera exprimée par le double de la valeur précédente de la fonction $\operatorname {F} .$ Ainsi, le temps $t$ étant compté