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devient

${\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {2v}{a}}{\frac {d^{2}\varphi }{dxdy}}+{\frac {v^{2}}{a^{2}}}{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}\,;$

or, dans tous les mouvemens que nous allons considérer, la vitesse $v$ sera toujours supposée très-petite par rapport à $a,$ qui exprime, dans le cas ordinaire de l’air atmosphérique, une vitesse de plus de $300$ mètres par seconde sexagésimale ; afin donc de pouvoir intégrer l’équation précédente sous forme finie, nous y supprimerons les termes multipliés par la fraction ${\frac {v}{a}},$ ou par son quarré ; ce qui la réduit à

${\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}.\qquad (2)$

Cette équation s’applique spécialement à la théorie du son ; mais elle peut aussi convenir aux mouvemens de l’air qui constituent les vents ; car si l’on en excepte quelques cas particuliers, la vîtesse de l’air observée dans ces phénomènes n’est pas comparable à la vitesse a ; de sorte que l’on pourra déterminer ces mouvemens avec une approximation suffisante, au moyen de l’équation $(2).$

Nous supposerons de même que les condensations ou les dilatations que les tranches fluides éprouvent pendant le mouvement, sont très-petites par rapport à leur densité primitive ; faisant donc

$\rho =\mathrm {D} (1+s),$

$s$ sera une très-petite fraction ; et si nous négligeons son quarré, ainsi que celui de la vitesse ${\frac {d\varphi }{dx}},$ la première équation $(1)$ deviendra

$as+{\frac {d\varphi }{dy}}=0.$