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en tranches infiniment minces et perpendiculaires au tube qui le contient, on aura seulement à déterminer, pour un instant quelconque, la vitesse de chaque tranche suivant la longueur du tube, et la condensation ou la dilatation qu’elle éprouve par l’effet du mouvement.

Il serait superflu de rappeler ici l’analyse, maintenant bien connue, qui conduit aux équations générales du mouvement des fluides ; dans le cas particulier que nous venons d’expliquer, ces équations se réduisent à deux, savoir :^[1]

$\left.{\begin{aligned}&a^{2}log.{\frac {\rho }{\mathrm {D} }}+{\frac {d\varphi }{dt}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d^{2}\varphi }{dxdt}}+{\frac {d\varphi ^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}=a^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}.\end{aligned}}\right\}(1)$

La variable $t$ représente le temps que nous compterons de l’origine du mouvement ; $x$ la distance d’une tranche quelconque du fluide, à une section déterminée du tube ; $a$ une quantité constante, dont la valeur dépend de la nature du fluide ; $\mathrm {D}$ exprime sa densité dans l’état d’équilibre ; enfin $\rho$ et $\varphi$ sont deux fonctions inconnues de $t$ et $x\,:$ la première représente la densité du fluide dans l’état de mouvement ; la différence partielle de la seconde par rapport à $x,$ exprime sa vitesse parallèle à la longueur du tube ; en sorte qu’en appelant $v$ cette vîtesse, on a

$v={\frac {dx}{dt}}={\frac {d\varphi }{dx}}.$

(2) Si l’on fait $at=y,$ la seconde des deux équations (1)

1. Mémoire sur la théorie du son, 14^e cahier du Journal de l’École polytechnique, pag. 364.