Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/99

Supposons qu’en réduisant ${\frac {1}{r}},$ dans une suite ascendante par rapport à $s,$ on ait

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{h}}+bs+b^{(1)}s^{2}+\ldots ,$

$b,b^{(1)},\ldots$ étant des fonctions de $\theta$ et de $\varpi ,$ on aura

$-{\frac {\mathrm {S} }{2r's'}}=-{\frac {\mathrm {S} }{2hs'}}-{\frac {\mathrm {S} b}{2}}-{\frac {\mathrm {S} b^{(1)}s'}{2}}-\ldots \,;$

de plus, on aura

${\frac {\mathrm {S} }{r'^{2}}}{\frac {\partial r'}{\partial s'}}=-\mathrm {S} {\frac {\partial {\cfrac {1}{r'}}}{\partial s'}}=-\mathrm {S} b-2\mathrm {S} b^{(1)}s'-\ldots \,;$

et, si l’on considère que le terme $-{\frac {\mathrm {S} }{2hs'}}$ étant constant, peut être censé compris dans la constante arbitraire $\mathrm {P} ',$ on trouvera, en faisant $s'=0,$

$\mathrm {P=P'} +{\frac {5}{4}}\alpha f\cos ^{2}\theta +{\frac {\mathrm {S} }{2rs}}-{\frac {3\mathrm {S} b}{2}}-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s}}{\frac {\partial r}{\partial s}}\,;$

désignant donc par $\sum \left({\frac {\mathrm {S} }{2rs}}-{\frac {3\mathrm {S} b}{2}}-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s}}{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)$ la somme des quantités ${\frac {\mathrm {S} }{2rs}}-{\frac {3}{2}}\mathrm {S} b-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s}}{\frac {\partial r}{\partial s}},$ relative à tant de corps que l’on voudra, on aura

$\mathrm {P=P'} +{\frac {5}{4}}\alpha f\cos ^{2}\theta +\sum \left({\frac {\mathrm {S} }{2rs}}-{\frac {3}{2}}\mathrm {S} b-{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}s}}{\frac {\partial r}{\partial s}}\right).$

Partant, si l’on connaissait la figure et la densité de l’anneau de Saturne, et sa position par rapport à l’axe de rotation de cette planète, on pourrait, en supposant la planète homogène, déterminer la loi de la pesanteur à sa surface ; l’équation précédente réduit, comme l’on voit, le problème à la quadrature des courbes, parce qu’alors $\mathrm {S}$ devient infiniment petit et que la caractéristique intégrale $\sum ,$ relative aux différences finies, se change dans la caractéristique intégrale $\int ,$ relative aux différences infiniment petites.