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ou

$\cos \theta '=\cos \theta \cos ^{2}p+\sin ^{2}p\cos(\theta -2q)\,;$

si l’on substitue maintenant, au lieu de $r,$ sa valeur dans les expression de $\mathrm {A,B}$ et $\mathrm {C} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\quad \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\left[2a\sin ^{3}p\sin ^{2}q(1+\alpha \mu )+\alpha a(\mu '-\mu )\sin p\right]dpdq,\\\\\mathrm {B} =&-\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\left[2a\sin ^{3}p\sin q\cos q(1+\alpha \mu )+\alpha a(\mu '-\mu )\sin p{\frac {\cos q}{\sin q}}\right]dpdq,\\\\\mathrm {C} =&\quad \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\left[2a\sin ^{3}p\cos p\sin q(1+\alpha \mu )+\alpha a(\mu '-\mu ){\frac {\cos p}{\sin q}}\right]dpdq\,;\end{aligned}}$

les intégrales précédentes devant être prises depuis $p$ et $q$ égaux à zéro jusqu’à $p$ et $q$ égaux à $\pi ,$ il est clair qu’on peut négliger, dans le développement des différentielles, les termes dans lesquels $\cos p$ ou $\cos q$ se trouvent élevés à des puissances impaires ; car soit $\mathrm {P} \cos qdq$ un de ces termes, $\mathrm {P}$ étant fonction de $sinsnq$ et de $\cos ^{2}q,$ il est visible que $\mathrm {P}$ sera le même pour deux valeurs de $q,$ équidistantes de ${\frac {\pi }{2}},$ mais dont l’une est au-dessus et l’autre au-dessous de ce point ; donc, $\cos q$ étant le même pour ces deux valeurs, avec des signes contraires, $\mathrm {P} \cos qdq$ sera aussi le même avec des signes contraires ; en sorte que l’on aura, depuis $q=0$ jusqu’à $q=\pi ,$

$\int _{0}^{\pi }\mathrm {P} \cos qdp=0\,;$

on a ensuite

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}qdq={\frac {\pi }{2}},$

de plus

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}pdp={\frac {4}{3}}\,;$

donc

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }2\sin ^{3}p\sin ^{2}qdpdq={\frac {4}{3}}\pi \,;$