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partant, si l’on fait, pour simplifier,

${\begin{alignedat}{2}{\frac {2h+f\left(a+{\sqrt {a^{2}-4b}}\right)}{2{\sqrt {a^{2}-4b}}}}=&h',\qquad &-{\frac {2h+f\left(a-{\sqrt {a^{2}-4b}}\right)}{2{\sqrt {a^{2}-4b}}}}=&f',\\{\frac {2e-ac+c{\sqrt {a^{2}-4b}}}{2\left(4b-a^{2}\right)}}=&c',\qquad &{\frac {2e-ac-c{\sqrt {a^{2}-4b}}}{2\left(4b-a^{2}\right)}}=&e',\end{alignedat}}$

${\frac {\mathrm {K} }{4b-a^{2}}}=\mathrm {K} '\qquad$et$\qquad {\frac {\mathrm {T} }{4b-a^{2}}}=\mathrm {T} ',$

en supposant d’ailleurs que l’on ait substitué dans $\mathrm {T} ,$ au lieu de $x$ et de $y,$ leurs valeurs en $\varpi$ et $\theta ,$ on aura

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {c'{\cfrac {\partial z}{\partial \varpi }}}{h'\varpi +f'\theta }}+{\frac {e'{\cfrac {\partial z}{\partial \theta }}}{h'\varpi +f'\theta }}+{\frac {\mathrm {K} 'z}{(h'\varpi +f'\theta )^{2}}}+\mathrm {T} '\,;$

soit encore $h'\varpi =\varpi '$ et $f'\theta =\theta ',$ on aura

${\frac {\partial z}{\partial \varpi }}=h'{\frac {\partial z}{\partial \varpi '}},\qquad {\frac {\partial z}{\partial \theta }}=f'{\frac {\partial z}{\partial \theta '}},\qquad$ et $\qquad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}=f'h'{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi '\partial \theta '}}\,;$

on aura ainsi

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi '\partial \theta '}}+{\frac {c'{\cfrac {\partial z}{\partial \varpi '}}}{f'(\varpi '+\theta ')}}+{\frac {e'{\cfrac {\partial z}{\partial \theta '}}}{h'(\varpi '+\theta ')}}+{\frac {\mathrm {K} 'z}{f'h'(\varpi '+\theta ')^{2}}}+{\frac {\mathrm {T} '}{f'h'}}\,;$

l’équation proposée sera donc ainsi réduite à une équation de cette forme

(Z)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {a{\cfrac {\partial z}{\partial \varpi }}}{\varpi +\theta }}+{\frac {b{\cfrac {\partial z}{\partial \theta }}}{\varpi +\theta }}+{\frac {cz}{(\varpi +\theta )^{2}}}+\mathrm {T} ,$

$a,b,c$ étant des constantes qui ne signifient plus la même chose que précédemment. Pour l’intégrer, on fera, suivant la méthode de l’article VII,

$z^{(1)}={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+{\frac {az}{\varpi +\theta }},$

et l’on arrivera à une équation de cette forme

$0={\frac {\partial ^{2}z^{(1)}}{\partial \varpi \partial \theta }}+{\frac {a^{(1)}}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {b^{(1)}}{\varpi +\theta }}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+{\frac {c^{(1)}z^{(1)}}{(\varpi +\theta )^{2}}}+\mathrm {T} ^{(1)}\,;$