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des équations aux différences ordinaires

(4)

$0=dy-dx\left({\frac {1}{2}}\alpha -{\sqrt {{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}-{\text{ϐ}}}}\right),$

(5)

$0=dy-dx\left({\frac {1}{2}}\alpha +{\sqrt {{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}-{\text{ϐ}}}}\right).$

Elle suppose de plus que, ayant $\varpi$ et $\theta$ en fonctions de $x$ et de $y,$ au moyen de ces équations intégrées, on en peut conclure $x$ et $y$ en fonctions de $\varpi ,$ et de $\theta \,;$ or, dans l’état actuel de l’Analyse, l’une et l’autre de ces suppositions est souvent impossible. Il serait cependant utile de pouvoir s’assurer alors si l’intégrale complète de l’équation aux différences partielles est possible ou non en termes finis ; on s’en assurera facilement par le procédé suivant.

Je reprends l’équation (L) de l’article V

(L)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+\gamma {\frac {\partial z}{\partial x}}+\delta {\frac {\partial z}{\partial y}}+\lambda z+\mathrm {T} \,;$

on a vu (même article) qu’elle pouvait se transformer dans celle-ci

$0=\mathrm {M} {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+\mathrm {N} {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+\mathrm {L} {\frac {\partial z}{\partial \theta }}+\mathrm {R} z+\mathrm {T} '\,;$

de plus, il est facile de voir, par l’article cité ci-dessus, que l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&2{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}+\alpha \left({\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \theta }{\partial y}}+{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\right)+2{\text{ϐ}}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}{\frac {\partial \theta }{\partial y}},\\\mathrm {N} =&{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x\partial y}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}}+\gamma {\frac {\partial \varpi }{\partial x}}+\delta {\frac {\partial \varpi }{\partial y}},\\\mathrm {L} =&{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x\partial y}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial y^{2}}}+\gamma {\frac {\partial \theta }{\partial x}}+\delta {\frac {\partial \theta }{\partial y}},\\\mathrm {R} =&\lambda \qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {T'=T} .\end{aligned}}$

L’équation

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz+\mathrm {T}$

donne ensuite

$m=\mathrm {\frac {N}{M}} ,\qquad n=\mathrm {\frac {L}{M}} ,\qquad l=\mathrm {\frac {R}{M}} ,\qquad$et$\qquad \mathrm {T={\frac {T'}{M}}} .$

Soit présentement $\mathrm {K} =0,$ l’équation de condition trouvée dans l’ar-