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de toute vraisemblance, on voit combien il est nécessaire, dans les occasions délicates, de faire usage de la méthode que nous avons proposée.

XXXIII.

Il est facile d’appliquer la théorie précédente à la correction des instruments ; pour cela, supposons que, en vérifiant un instrument et en répétant un grand nombre de fois la même vérification, on ait trouvé $n$ différentes erreurs $p,p',p'',\ldots$. Soient $i,i,i'',\ldots$ les nombres de fois que chacune d’elles a été répétée ; en représentant par $x,x',x'',\ldots$ leurs facilités respectives, on aura $kx^{i},x'^{i'},x''^{i''},\ldots ,$ pour la probabilité de l’événement observé, $k$ étant un coefficient constant ; la probabilité de ce système de facilités sera donc

${\frac {x^{i}x'^{i'}x''^{i''}\ldots dxdx'dx''\ldots }{\int ^{n}x^{i}x'^{i'}x''^{i''}\ldots dxdx'dx''\ldots }},$

les intégrales du dénominateur étant prises pour toutes les valeurs possibles de $x,x',x'',$ Pour en conclure la probabilité de $x,$ on intégrera la fonction $x^{i},x'^{i'},x''^{i''},\ldots dxdx'dx''\ldots$ d’abord par rapport à $x',$ depuis $x'=0$ jusqu’à $x'=1-x-x''-\ldots ,$ ensuite par rapport à $x'',$ depuis $x''=0$ jusqu’à $x''=1-x-x'''-\ldots ,$ et ainsi de suite, ce qui donne pour dernière intégrale

${\frac {1.2.3\ldots i'.1.2.3\ldots i''.1.2.3\ldots i'''\ldots }{1.2.3.4\ldots \left(i'+i''+i'''+\ldots \right)}}x^{i}(1-x)^{i'+i''+i'''+\ldots +n-1}dx.$

On aura donc, pour la probabilité que la facilité $x$ sera comprise dans des limites données,

${\frac {\int x^{i}(1-x)^{i'+i''+i'''+\ldots +n-1}dx}{\int x^{i}(1-x)^{i'+i''+i'''+\ldots +n-1}dx}},$

l’intégrale du numérateur étant prise dans l’étendue de ces limites et celle du dénominateur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1\,;$ or cette probabilité se déterminera par la formule de l’article XVIII en y changeant $p$ en $i$ et $q$ en $i'+i''+\ldots +n-1.$