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et l’on aura

$\mathrm {A} -{\frac {1}{n}}\left(p+p'+p''+\ldots +p^{(n-1)}\right)q^{n}$

pour l’intégrale $\int ydx$ correspondante aux valeurs négatives de $x.$

Cette même intégrale, prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=p^{(n-1)},$ est $p^{(n-1)}q^{n},$ parce que l’on peut, dans cet intervalle, supposer

$\varphi (\alpha x)=\varphi (\alpha p-\alpha x)=\ldots =q,$

par conséquent l’ordonnée $y=q^{n}.$

Depuis $x=p^{(n-1)}$ jusqu’à $x=\infty ,$ on a

$y=\varphi (\alpha x)\varphi (\alpha x-\alpha p)\varphi (\alpha x-\alpha p')\ldots$

ou

$y=\varphi (\alpha x)^{n}-\alpha \left(p+p'+p''+\ldots +p^{(n-1)}\right)\varphi (\alpha x)^{n-1}{\frac {d\varphi (\alpha x)}{d(\alpha x)}}\,;$

or l’intégrale $\int \alpha \varphi (\alpha x)^{n-1}{\frac {d\varphi (\alpha x)}{d(\alpha x)}},$ prise depuis $x=p^{(n-1)},$ jusqu’à $x=\infty ,$ est $-{\frac {1}{n}}q^{n}.$ De plus, l’intégrale $\int \varphi (\alpha x)^{n}dx,$ prise dans le même intervalle, est évidemment égale à $\mathrm {A} -p^{(n-1)}q^{n}\,;$ on aura donc

$\mathrm {A} -p^{(n-1)}q^{n}+{\frac {1}{n}}\left(p+p'+\ldots +p^{(n-1)}\right)$

pour la valeur de $\int ydx,$ prise dans cet intervalle. Partant, l’aire entière de la courbe des probabilités est égale à $2\mathrm {A} .$ Or, en nommant $h$ l’abscisse dont l’ordonnée divise cette aire en deux parties égales, la partie de l’aire qui est à gauche de cette ordonnée sera visiblement égale à

$\mathrm {A} -{\frac {1}{n}}\left(p+p'+p''+\ldots +p^{(n-1)}\right)q^{n}+hq^{n}\,;$

en l’égalant à $\mathrm {A} ,$ on aura

$h={\frac {1}{n}}\left(p+p'+p''+\ldots +p^{(n-1)}\right),$

ce qui donne pour $h$ la même valeur que la règle des milieux arithmétiques. Les suppositions qui nous ont conduit à ce résultat étant hors