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carrer par parties la courbe des probabilités et de déterminer ainsi l’ordonnée qui divise sa surface en deux parties égales.

XXXII.

La règle ordinaire des milieux arithmétiques se déduit de cette méthode, en supposant $a=a'=a''=\ldots =\infty ,$ comme il est facile de s’en assurer ; mais nous allons démontrer un théorème beaucoup plus général en faisant voir que cette règle a lieu toutes les fois : 1^o que la loi de facilité des erreurs est la même pour toutes les observations ; 2^o que les mêmes erreurs, soit en plus, soit en moins, sont également possibles ; 3^o qu’elles peuvent être infinies et que la fonction qui exprime leurs facilités ne décroît d’une quantité finie que lorsque $x$ est infini, mais qu’alors elle va toujours en diminuant jusqu’au point de devenir nulle.

Pour cela, soit $\varphi (\alpha x)$ la loi de facilité des erreurs des observations, $\alpha$ étant une quantité infiniment petite ; soit de plus $q$ la valeur de $\varphi (\alpha x),$ lorsque $\alpha x=0$ et, par conséquent, lorsque $x$ est une quantité finie. Il est évident que l’ordonnée de la courbe des probabilités, depuis $-x=0$ jusqu’à $-x=\infty ,$ sera

$y=\varphi (\alpha x)\varphi (\alpha p+\alpha x)\varphi (\alpha p'+\alpha x)\ldots$

En supposant le nombre des observations égal à $n$ et en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on aura

$y=\varphi (\alpha x)^{n}+\alpha \left(p+p'+p''+\ldots +p^{(n-1)}\right)\varphi (\alpha x)^{n-1}{\frac {d\varphi (\alpha x)}{d(\alpha x)}}\,;$

or, si l’on prend l’intégrale $\int \alpha \varphi (\alpha x)^{n-1}{\frac {d\varphi (\alpha x)}{d(\alpha x)}},$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et que l’on se rappelle que $\varphi (\alpha x)=q$ lorsque $x=0$ et que $\varphi (\alpha x)=0$ lorsque $x=\infty ,$ on aura

$\int \alpha \varphi (\alpha x)^{n-1}{\frac {d\varphi (\alpha x)}{d(\alpha x)}}dx=-{\frac {1}{n}}q^{n}\,;$

soit donc $\mathrm {A}$ l’intégrale $\int \varphi (\alpha x)^{n}dx,$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$