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La formule $(\alpha )$ deviendra donc

$\mathrm {P} ^{2}={\frac {v^{2}}{2}},$

$v$ étant ce que devient $u$ ou $y$ lorsqu’on y fait $x=a\,;$ de là résulte ce théorème assez remarquable :

La probabilité d’un événement futur, pareil à celui que l’on a observé, est à cette même probabilité, déterminée en employant pour les possibilités des événements simples celles qui résultent de l’événement observé, comme $1$ est à ${\sqrt {2}}.$

Si l’on a observé, par exemple, que sur $p+q$ enfants il est né $p$ garçons et $q$ filles, et que l’on cherche la probabilité $\mathrm {P} ,$ que sur $p+q$ enfants qui doivent naître il y aura $p$ garçons et $q$ filles, on aura

$\mathrm {P} ={\frac {l.2.3\ldots (p+q)}{l.2.3\ldots p.1.2.3\ldots q}}{\frac {p^{p}q^{q}}{{\sqrt {2}}(p+q)^{p+q}}}\,;$

c’est ce qui résulte pareillement de la formule $(\varpi )$ de l’article XVII.

En général, si l’on cherche la probabilité $\mathrm {P}$ que l’événement observé sera suivi d’un nombre $n$ d’événements pareils, on aura $u=y^{n},$ et l’on trouvera

$\mathrm {P} ={\frac {v^{n}}{\sqrt {n+1}}},$

$v$ étant ce que devient $y,$ lorsqu’on y substitue pour $x$ la valeur $a$ qui rend $y$ un maximum, et cette équation a également lieu, $n$ étant fractionnaire. On s’exposerait donc alors à des erreurs considérables, en employant, dans le calcul de la probabilité des événements futurs, les possibilités des événements simples qui résultent de l’événement observé : en effet, il est visible que la petite erreur que l’on peut commettre, en faisant usage de ces possibilités, s’accumule en raison du nombre des événements simples qui entrent dans l’événement futur, et doit occasionner une erreur sensible lorsqu’ils y sont en très grand nombre. Au reste, quel que soit cet événement, on peut en déterminer la probabilité au moyen de la formule $(\alpha ),$ qui est toujours vraie, très peu près, lorsque l’événement observé est très composé.