Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/486

partant

$y'=y+{\frac {\alpha ^{2n-1}h^{2}}{1.2}}y{\frac {dz'}{dx}}+\ldots .$

Cette valeur de $y'$ ne se réduit à $y,$ dans le cas de $\alpha$ infiniment petit, que lorsque $2n-1$ est positif, ce qui suppose $n>{\frac {1}{2}},$ et il est aisé de voir pareillement que ce n’est que dans cette supposition que ${\frac {d^{2}(u'y')}{dx^{2}}}$ se réduit à ${\frac {d^{2}y}{n'dx^{2}}}\,;$ le théorème précédent ne peut donc avoir lieu que dans le cas où in est plus grand que l’unité.

Soit ${\frac {du}{udx}}={\frac {\lambda }{\alpha ^{1-n}}},\ \lambda$ étant fonction de $x$, l’équation

$0={\frac {\alpha du}{udx}}+z'$

deviendra

$0=\alpha ^{n'-1}\lambda +z',$

ce qui donne pour $x$ une expression de cette forme

$x=a+\alpha ^{n'-1}h\,;$

or la vérité du théorème précédent exige que l’on ait $n'-1>{\frac {1}{2}},$ et, par conséquent, $1-n'<-{\frac {1}{2}}\,;$ donc, afin que ce théorème subsiste, il est nécessaire que l’événement futur soit assez peu composé relativement à l’événement observé, pour que $\left({\frac {du}{udx}}\right)^{2}$ soit une fonction de $x$, très petite relativement à ${\frac {dy}{ydx}}.$

Si l’événement futur est exactement le même que l’événement observé, en sorte que $u=y,$ la valeur $a$ de $x,$ qui rend $y$ un maximum, rendra pareillement $uy$ un maximum, en sorte que l’on aura $y'=y$ et $u'-v.$ On aura ensuite

${\frac {d^{2}u'y'}{dx^{2}}}=2y{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}\,;$

mais la substitution de $a$ pour $x$ donne ${\frac {dy}{dx}}=0,$ partant

${\frac {d^{2}u'y'}{dx^{2}}}=2y{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$