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et l’on prouvera, comme nous venons de le faire pour $y',$ que ${\frac {d^{2}y'}{dx^{2}}}$ peut être supposé égal à ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ partant

${\frac {d^{2}(u'y')}{dx^{2}}}=u'{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

La formule $(\alpha )$ deviendra donc

$\mathrm {P} ^{2}=u'^{2}\,;$

mais, si l’on nomme $v$ ce que devient $u$ lorsqu’on y fait $x=a,$ on aura, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,\ n'=v\,;$ donc

$\mathrm {P} =v\,;$

d’où il suit que l’on peut calculer la probabilité $\mathrm {P}$ de l’événement futur en employant pour $x$ la valeur qui rend $y$ un maximum.

Ce théorème cesserait d’être exact si l’événement futur dont il s’agit était lui-même très composé, car alors ${\frac {du}{udx}}$ serait très grand, et la valeur de $x$ y que donne l’équation

$0=\alpha {\frac {du}{udx}}+z',$

ne pourrait plus être représentée par $a+\alpha h\,;$ on ne pourrait plus d’ailleurs supposer ${\frac {d^{2}(u'y')}{dx^{2}}}$ égal à $u'{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$ Si l’on représente, en général, par $u+\alpha ^{n}h$ la racine de l’équation

$0=\alpha {\frac {du}{udx}}+z,$

$n$ étant un exposant moindre que l’unité, on aura

$y'=y+\alpha ^{n}h{\frac {dy}{dx}}+{\frac {\alpha ^{2n}h^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\ldots ,$

et l’on trouvera

${\begin{aligned}\alpha ^{n}h{\frac {dy}{dx}}=&0,\\{\frac {\alpha ^{2n}h^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=&{\frac {\alpha ^{2n-1}h^{2}}{1.2}}y{\frac {dz'}{dx}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$