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Soit $a$ la valeur de $x$ qui rend $y$ un maximum, et par conséquent $z'$ nul ; la valeur de $x$ qui rend $uy$ un maximum pourra donc être représentée par $a+ah,\ h$ étant un coefficient quelconque, et l’on aura

$y'=y+\alpha h{\frac {dy}{dx}}+{\frac {\alpha ^{2}h^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}++{\frac {\alpha ^{3}h^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\ldots ,$

$y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots$ étant ce que deviennent ces quantités lorsqu’on y fait $x=a\,;$ on a ensuite

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}=&{\frac {1}{\alpha }}yz',\\{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=&y\left({\frac {1}{\alpha ^{2}}}z'^{2}+{\frac {1}{\alpha }}{\frac {dz'}{dx}}\right),\\{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=&y\left({\frac {1}{\alpha ^{3}}}z'^{3}+{\frac {3}{\alpha ^{2}}}z'{\frac {dz'}{dx}}+{\frac {1}{\alpha }}{\frac {d^{2}z'}{dx^{2}}}\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

La supposition de $x=a$ donne $z'=0,$ et, par conséquent,

${\begin{aligned}\alpha h{\frac {dy}{dx}}=&0,\\{\frac {\alpha ^{2}h^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=&{\frac {\alpha h^{2}}{1.2}}y{\frac {dz'}{dx}},\\{\frac {\alpha ^{3}h^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=&{\frac {\alpha ^{2}h^{3}}{1.2.3}}y{\frac {d^{2}z'}{dx^{2}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on aura donc, en négligeant les termes multipliés par $\alpha ,$

$y=y'.$

On a d’ailleurs

${\frac {d^{2}(u'y')}{dx^{2}}}=u'{\frac {d^{2}y'}{dx^{2}}}+{\frac {2du'dy'}{dxdx}}+y'{\frac {d^{2}u'}{dx^{2}}}\,;$

or il est visible, par ce qui précède, que ${\frac {d^{2}y'}{dx^{2}}}$ est beaucoup plus grand que ${\frac {dy'}{dx}}$ et que $y',$ en sorte que l’on peut supposer, à très peu près,

${\frac {d^{2}(u'y')}{dx^{2}}}=u'{\frac {d^{2}y'}{dx^{2}}},$