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Si l’on n’a aucune donnée sur la loi de possibilité des deux événements simples, ce qui est le cas le plus ordinaire, on doit supposer (art. XVII) $s$ et $s'$ égaux à l’unité, ce qui donne

$\mathrm {P} ={\frac {\int uydx}{\int ydx}}\,;$

or on a, à très peu près, par l’article XXIII,

${\begin{aligned}\left(\int ydx\right)^{2}=&{\frac {2\pi y^{3}}{-{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}},\\\left(\int uydx\right)^{2}=&{\frac {2\pi u'^{3}y'^{3}}{-{\cfrac {d^{2}(u'y'}{dx^{2}}}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$y$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ étant ce que deviennent ces quantités lorsqu’on y substitue pour $x$ la valeur qui rend $y$ un maximum, et $u',\ y'$ et ${\frac {d^{2}y'}{dx^{2}}}$ étant ce que deviennent $u,y$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ lorsqu’on y substitue pour $x$ la valeur qui rend $uy$ un maximum ; on aura donc

$(\alpha )\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {P} ={\frac {u'^{3}y'^{3}}{y^{3}}}{\frac {\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\cfrac {d^{2}(u'y')}{dx^{2}}}}.$

Supposons que l’événement futur dont on calcule la probabilité soit très peu composé, en égalant à zéro la différentielle de $uy,$ on aura

$0={\frac {dy}{ydx}}+{\frac {du}{udx}}\,;$

mais on a, par la supposition,

${\frac {dy}{ydx}}={\frac {1}{\alpha z}}={\frac {1}{\alpha }}z',$

en faisant ${\frac {1}{z}}=z'\,;$ l’équation précédente deviendra ainsi

$0=\alpha {\frac {du}{udx}}+z'.$