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on aura, pour déterminer $a,$ l’équation

$0={\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}.$

Or on a

${\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}={\frac {\partial y}{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial x'}}{\frac {\partial x'}{\partial x}},$

en substituant dans le second membre de cette équation, au lieu de $x',$ sa valeur $u$ en $x\,;$ mais cette valeur rend nulle la quantité ${\frac {\partial y}{\partial x'}}\,:$ on aura donc les deux équations

${\frac {\partial y}{\partial x}}=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial y}{\partial x'}}=0.$

Il suit de là que $a$ est, aux quantités près de l’ordre $\alpha ,$ la valeur de $x$ qui rend $y$ un maximum, en faisant varier à la fois $x$ et $x'\,;$ on peut donc prendre, sans erreur sensible, la valeur de $x$ correspondante à ce maximum, pour la possibilité du premier événement simple, et il est clair que l’on peut faire des remarques analogues sur les possibilités des deux autres événements simples.

Supposons, par exemple, qu’il y ait dans une urne une infinité de boules blanches, rouges et noires, dans une proportion inconnue, et que sur le nombre $p+q+r$ de tirages on ait amené $p$ boules blanches, $q$ boules rouges et $r$ boules noires ; en nommant $x$ la facilité d’amener une boule blanche, $x'$ celle d’amener une boule rouge et, par conséquent, $1-x-x'$ celle d’amener une boule noire, on aura, pour la probabilité de l’événement observé,

${\frac {1.2.3\ldots (p+q+r)}{1.2.3\ldots p.1.2.3\ldots q.1.2.3\ldots r}}x^{p}x'^{q}(1-x-x')^{r}.$

Dans ce cas particulier,

$y=x^{p}x'^{q}(1-x-x')^{r},$

$\int ydx'={\frac {1.2.3\ldots q.1.2.3\ldots r}{1.2.3\ldots (q+r+1)}}x^{p}(1-x)^{q+r+1}\,;$

la valeur de $x$ qui rend $\int ydx$ un maximum est ${\frac {p}{p+q+r+1}}\,;$ cette frac-