Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/479

$\int ydx',$ depuis $x'=0$ jusqu’à $x'=1-x,$ on aura pour résultat une fonction de $x$, que la méthode de l’art. XXIII donnera par une suite très convergente. Soit $u$ la valeur de $x'$ en $x$ qui rend $y$ un maximum, $x$ étant supposé constant, et que l’on représente par $\mathrm {Y}$ ce maximum, on aura, par l’article cité, pour $\int ydx',$ une expression de cette forme

$\int ydx'=\mathrm {Y} {\sqrt {\alpha \pi }}\left(h+1.3{\frac {\alpha h''}{2}}+1.3.5{\frac {\alpha ^{2}h^{\text{ıv}}}{2^{2}}}+\ldots \right),$

$\mathrm {Y} ,h,h'',h^{\text{ıv}},\ldots$ étant des fonctions de $x.$ La valeur de $x$ qui rend le second membre de cette équation un maximum sera très approchante de la véritable possibilité du premier événement ; soit à cette valeur, on aura pour l’expression de la probabilité $\mathrm {P}$ que $x$ sera compris dans les limites $a-\theta$ et $a+\theta$

$\mathrm {P} ={\frac {\int \mathrm {Y} dx\left(h+1.3{\cfrac {\alpha h''}{2}}+1.3.5{\cfrac {\alpha ^{2}h^{\text{ıv}}}{2^{2}}}+\ldots \right)}{\int \mathrm {Y} dx\left(h+1.3{\cfrac {\alpha h''}{2}}+1.3.5{\cfrac {\alpha ^{2}h^{\text{ıv}}}{2^{2}}}+\ldots \right)}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $x=a-\theta$ jusqu’à $x=a+\theta ,$ et celle du dénominateur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à a $x=1\,;$ or on déterminera facilement ces intégrales par la méthode de l’art. XXIII.

La valeur $a$ se détermine en égalant à zéro la différence de $\mathrm {Y} \left(h+1.3{\frac {\alpha h''}{2}}+\ldots \right),$ ce qui donne

$0={\frac {d\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} }}+{\frac {dh+1.3{\cfrac {\alpha dh''}{2}}+\ldots }{h+1.3{\cfrac {\alpha h''}{2}}+\ldots }}\,;$

${\frac {d\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} }}$ est, par la supposition, une quantité très grande de l’ordre ${\frac {1}{\alpha }}\,;$ en négligeant donc, vis-à-vis d’elle, la quantité

${\frac {dh+1.3{\cfrac {\alpha dh''}{2}}+\ldots }{h+1.3{\cfrac {\alpha h''}{2}}+\ldots }},$