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cette valeur est ${\frac {p}{p+q}}\,;$ on a donc

$\int u^{p}(1-u)^{q}du={\sqrt {2\pi }}{\frac {p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}}{(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}}}}.$

En changeant $p$ en $p'$ et $q$ en $q',$ on aura

$\int s^{p'}(1-s)^{q'}ds={\sqrt {2\pi }}{\frac {p'^{p'+{\frac {1}{2}}}q'^{q'+{\frac {1}{2}}}}{(p'+q')^{p'+q'+{\frac {3}{2}}}}},$

partant

$\iint u^{p}(1-u)^{q}s^{p'}(1-s)^{q'}dsdu={\sqrt {2\pi }}{\frac {p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}p'^{p'+{\frac {1}{2}}}q'^{q'+{\frac {1}{2}}}}{(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}}(p'+q')^{p'+q'+{\frac {3}{2}}}}}.$

Si l’on suppose cette quantité égale à $k,$ on aura pour la probabilité cherchée $\mathrm {P}$

$\mathrm {P} ={\frac {\alpha y'\mathrm {F} {\sqrt {2\pi }}}{\theta k}}\left(1-{\frac {\alpha \mathrm {F} }{\theta ^{2}}}+{\frac {3\alpha ^{2}\mathrm {F} ^{2}}{\theta ^{4}}}-\ldots \right)\,;$

il ne s’agit plus maintenant que de déterminer les valeurs numériques des différents termes de cette expression, en partant des données précédentes. Ces données sont

${\begin{alignedat}{2}p=&251527,\qquad &p'=&737629,\\q=&241945,,&q'=&698958\,;\end{alignedat}}$

d’où il est facile de conclure

${\begin{aligned}\log \mathrm {F} =&{\overline {2}}{,}9767121,\\\log \theta =&{\overline {3}}{,}4457598,\\\log \alpha =&{\overline {6}}{,}5994154\end{aligned}}$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}{\frac {\alpha \mathrm {F} }{\theta ^{2}}}=&0{,}048374,\\{\frac {3\alpha ^{2}\mathrm {F} ^{2}}{\theta ^{4}}}=&0{,}007020.\end{aligned}}$