Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/475

nateur, en sorte que, si l’on suppose

$\mathrm {F} ={\frac {\mathrm {X(1-X)} \left[{\cfrac {\nu }{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {\nu '}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}\right]}{(1+\mu )\left[{\cfrac {1}{\mathrm {X} ^{2}}}+{\cfrac {\mu }{(1-\mathrm {X} )^{2}}}+{\cfrac {\nu }{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {\nu '}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}\right]}},,$

on aura, à très peu près,

${\begin{aligned}{\frac {dz}{d\mathrm {X} }}\ \ \quad =&{\frac {\mathrm {F} }{\theta ^{2}}},\\{\frac {d(zdz)}{d\mathrm {X} ^{2}}}=&{\frac {3\mathrm {F} ^{2}}{\theta ^{4}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\end{aligned}}$

partant

$\int y'dx={\frac {\alpha y'\mathrm {F} }{\theta }}\left(1-{\frac {\alpha \mathrm {F} }{\theta ^{2}}}+{\frac {3\alpha ^{2}\mathrm {F} ^{2}}{\theta ^{4}}}-\ldots \right),$

$y'$ et $\mathrm {F}$ étant ce que deviennent ces quantités lorsqu’on y suppose $x=0$ et $\mathrm {X} ={\frac {p+p'}{p+p'+q+q'}},$ ce qui donne

$y'\mathrm {F} ={\frac {(p+p')^{p+p'+{\frac {3}{2}}}(q+q')^{q+q'+{\frac {3}{2}}}}{(1+\mu )(p+p'+q+q')^{p+p'+q+q'+{\frac {7}{2}}}}}.$

Il est aisé de voir par l’analyse de l’article XVIII que $\int y'dx$ est moindre que ${\frac {\alpha y'\mathrm {F} }{\theta }},$ plus grand que ${\frac {\alpha y'\mathrm {F} }{\theta }}\left(1-{\frac {\alpha \mathrm {F} }{\theta ^{2}}}\right)$ et moindre que ${\frac {\alpha y'\mathrm {F} }{\theta }}\left(1-{\frac {\alpha \mathrm {F} }{\theta ^{2}}}+{\frac {3\alpha ^{2}\mathrm {F} ^{2}}{\theta ^{4}}}\right),$ en sorte que l’on a par ce moyen les limites dans lesquelles la valeur de $\int y'dx$ est resserrée.

Cherchons présentement la valeur de la double intégrale

$\iint u^{p}(1-u)^{q}s^{p'}(1-s)^{q'}dsdu.$

La formule $(\mu )$ de l’article XXIII donne, à très peu près,

$\int u^{p}(1-u)^{q}du={\sqrt {2\pi }}{\frac {u^{p+1}(1-u)^{q+1}}{\sqrt {\left[p(1-u)^{2}+qu^{2}\right]^{2}}}},$

en substituant pour $u$ la valeur qui rend $u^{p}(1-u)^{q}$ un maximum ; or