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d’ailleurs, en différenciant l’équation

$0={\frac {p}{\mathrm {X} }}-{\frac {q}{1-\mathrm {X} }}+{\frac {p'}{\mathrm {X} -x}}-{\frac {q'}{1-\mathrm {X} +x}},$

on trouve

${\frac {dx}{\mathrm {X} }}={\frac {\mathrm {R} ^{2}}{{\cfrac {p'}{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {q'}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}}}\,;$

donc

${\frac {dy'}{y'}}={\frac {\mathrm {R} ^{2}}{{\cfrac {p'}{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {q'}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}}}{\frac {p-(p+q)\mathrm {X} }{\mathrm {X} (1-\mathrm {X} )}}d\mathrm {X} .$

Soient

$p={\frac {1}{\alpha }},\qquad q={\frac {\mu }{\alpha }},\qquad p'={\frac {\nu }{\alpha }},\qquad q'={\frac {\nu '}{\alpha }}\,;$

la quantité que nous avons nommée $z$ dans l’article XVIII sera ici

${\frac {\mathrm {X(1-X)} \left[{\cfrac {\nu }{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {\nu '}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}\right]}{\left[{\cfrac {1}{\mathrm {X} ^{2}}}+{\cfrac {\mu }{(1-\mathrm {X} )^{2}}}+{\cfrac {\nu }{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {\nu '}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}\right]\left[1-(1+\mu )\mathrm {X} \right]}},$

$\mathrm {X}$ étant la variable principale dont $x$ est fonction ; si l’on observe ensuite que, $\mathrm {X}$ étant égal à l’unité, on a $y'=0,$ la suite $(\gamma )$ de l’article cité donnera

$\int y'dx=-\alpha y'z\left\{1-\alpha {\frac {dz}{d\mathrm {X} }}+\alpha ^{2}{\frac {d(zdz)}{d\mathrm {X} ^{2}}}-\alpha ^{3}{\frac {d\left[zd(zdz)\right]}{d\mathrm {X} ^{3}}}+\ldots \right\},$

en substituant, après les différentiations dans le second membre de cette équation, ${\frac {p+p'}{p+p'+q+q'}}$ pour $\mathrm {X}$ et en y faisant $x=0.$

Si l’on suppose $\mathrm {X} ={\frac {p}{p+q}}+\theta ,$ $\theta$ sera égal à
${\frac {p+p'}{p+p'+q+q'}}-{\frac {p}{p+q}},$ et l’on aura

$z=-{\frac {\mathrm {X(1-X)} \left[{\cfrac {\nu }{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {\nu '}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}\right]}{(1+\mu )\theta \left[{\cfrac {1}{\mathrm {X} ^{2}}}+{\cfrac {\mu }{(1-\mathrm {X} )^{2}}}+{\cfrac {\nu }{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\cfrac {\nu '}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}\right]}}\,;$

or, $\theta$ étant très petit, les différences successives de $z$ croissent principalement par la différentiation du facteur $\theta$ qui se trouve au dénomi-