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l’équation

$0={\frac {dy}{y}}+{\frac {d\left({\cfrac {1}{\mathrm {R} }}{\cfrac {dx}{d\mathrm {X} }}\right)}{{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}{\cfrac {dx}{d\mathrm {X} }}}}\,;$

or, $y$ étant égal à $\mathrm {X} ^{p}(1-\mathrm {X} )^{q}(\mathrm {X} -x)^{p'}(1-\mathrm {X} +x)^{q'},$ on a

${\frac {dy}{y}}=\left({\frac {p}{\mathrm {X} }}-{\frac {q}{1-\mathrm {X} }}+{\frac {p'}{\mathrm {X} -x}}+{\frac {q'}{1-\mathrm {X} +x}}\right)d\mathrm {X}$

$+\left({\frac {q'}{1-\mathrm {X} +x}}-{\frac {p'}{\mathrm {X} -x}}\right)dx\,;$

cette équation se réduit, en vertu de l’équation $(t),$ à celle-ci

${\frac {dy}{y}}={\frac {q'dx}{1-\mathrm {X} +x}}-{\frac {p'dx}{\mathrm {X} -x}}=\left({\frac {p}{\mathrm {X} }}-{\frac {q}{1-\mathrm {X} }}\right)dx.$

Maintenant, $p$ et $q$ étant de très grands nombres, il est visible que ${\frac {dy}{y}}$ est incomparablement plus grand que ${\frac {d\left({\cfrac {1}{\mathrm {R} }}{\cfrac {dx}{d\mathrm {X} }}\right)}{{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}{\cfrac {dx}{d\mathrm {X} }}}},$ et qu’ainsi on peut négliger la seconde de ces deux différentielles par rapport à la première ; on aura donc, à très peu près, dans le cas du maximum de $y,$

$0={\frac {p}{\mathrm {X} }}-{\frac {q}{1-\mathrm {X} }},$

partant

$\mathrm {X} ={\frac {p}{p+q}}.$

Cette valeur de $\mathrm {X}$ est moindre que ${\frac {p+p'}{p+p'+q+q'}}$ lorsque ${\frac {p}{p+q}}$ est, comme nous le supposons ici, plus grand que ${\frac {p}{p+q}}\,;$ les deux limites dans lesquelles il faut prendre l’intégrale $\int y'dx$ sont, par conséquent, au delà de la valeur de $\mathrm {X}$ qui rend $y'$ un maximum ; ainsi l’on doit, pour déterminer cette intégrale, faire usage de la suite $(\lambda )$ de l’article XVIII.

On a, à très peu près,

${\frac {dy'}{y'}}={\frac {dy}{y}}=\left({\frac {p}{\mathrm {X} }}-{\frac {q}{1-\mathrm {X} }}\right)dx\,;$