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d’où l’on tire

$\int ydu={\frac {{\sqrt {2\pi }}y}{\sqrt {{\frac {p}{\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {q}{(1-\mathrm {X} )^{2}}}+{\frac {p'}{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\frac {q'}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}}}},$

$\mathrm {X}$ étant déterminé par l’équation

$(t)\qquad \qquad \qquad 0={\frac {p}{\mathrm {X} }}-{\frac {q}{1-\mathrm {X} }}+{\frac {p'}{\mathrm {X} -x}}+{\frac {q'}{1-\mathrm {X} +x}}$

ou

$(t')\qquad \left\{{\begin{aligned}0=&\mathrm {X} (l-\mathrm {X} )[(p+p')(l-\mathrm {X} )-(q+q')\mathrm {X} ]\\&+x\ \left\{(p'+q')\mathrm {X} (1-\mathrm {X} )+(1-2\mathrm {X} )\left[q\mathrm {X} -p(1-\mathrm {X} )\right]\right\}\\&+x^{2}\left[q\mathrm {X} -p(1-\mathrm {X} )\right].\end{aligned}}\right\}$

Soit, pour abréger,

$\mathrm {R} ={\sqrt {{\frac {p}{\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {q}{(1-\mathrm {X} )^{2}}}+{\frac {p'}{(\mathrm {X} -x)^{2}}}+{\frac {q'}{(1-\mathrm {X} +x)^{2}}}}}\,;$

la question est réduite à déterminer l’intégrale ${\sqrt {2\pi }}\int {\frac {ydx}{\mathrm {R} }},$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ Au lieu de cette intégrale, on peut considérer celle-ci ${\sqrt {2\pi }}\int {\frac {y}{\mathrm {R} }}{\frac {dx}{d\mathrm {X} }}d\mathrm {X} ,\ x$ étant regardé comme fonction de $\mathrm {X} \,;$ mais il faut prendre cette dernière intégrale depuis la valeur de $\mathrm {X}$ qui a lieu lorsque $x=0$ jusqu’à celle qui a lieu lorsque $x=1\,;$ or, en faisant $x=0,$ l’équation $(t')$ devient

$0=(p+p')(1-\mathrm {X} )-(q+q')\mathrm {X} ,$

partant

$\mathrm {X} ={\frac {p+p'}{p+p'+q+q'}}.$

En faisant $x=1,$ cette équation donne $\mathrm {X} =1\,;$ on doit donc prendre l’intégrale $\int {\frac {y}{\mathrm {R} }}{\frac {dx}{d\mathrm {X} }}d\mathrm {X} ,$ depuis $\mathrm {X} ={\frac {p+p'}{p+p'+q+q'}}$ jusqu’à $\mathrm {X} =1.$

Supposons ${\frac {y}{\mathrm {R} }}{\frac {dx}{d\mathrm {X} }}=y'\,:$ la condition du maximum de $y'$ donne