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partant

$1.2.3\ldots p=p^{p+{\frac {1}{2}}}e^{-p}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12}}\alpha +\ldots \right).$

Nous pourrions appliquer cette méthode à beaucoup d’autres exemples, et par là étendre et perfectionner la théorie des suites ; mais cette digression nous écarterait trop de notre objet principal.

XXVI.

La méthode précédente donne une solution fort simple d’un problème intéressant, qu’il serait peut-être très difficile de résoudre par d’autres méthodes : on a vu (art. XIX) que le rapport des naissances des garçons à celles des filles est sensiblement plus grand à Londres qu’à Paris ; cette différence semble indiquer à Londres une plus grande facilité pour la naissance des garçons : il s’agit de déterminer combien cela est probable.

Pour cela, soient

$u$ la probabilité de la naissance d’un garçon à Paris ;

$p$ le nombre des naissances des garçons observées dans cette ville ;

$q$ celui des filles ;

$u-x$ la possibilité de la naissance d’un garçon à Londres ;

$p'$ le nombre de naissances des garçons qu’on y a observées ;

$q'$ celui des filles.

On aura, pour la probabilité de ce double événement,

$\mathrm {H} u^{p}(1-u)^{q}(u-x)^{p'}(1-u+x)^{q'},$

$\mathrm {H}$ étant un coefficient constant ; donc, si l’on nomme $\mathrm {P}$ la probabilité que la naissance d’un garçon est moins possible à Londres qu’à Paris, on aura

$\mathrm {P} ={\frac {\iint u^{p}(1-u)^{q}(u-x)^{p'}(1-u+x)^{q'}dxdu}{\iint u^{p}(1-u)^{q}(u-x)^{p'}(1-u+x)^{q'}dxdu}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=x$ et