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on aura, en intégrant depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$

$\int x^{p}e^{-x}dx=p\int x^{p-1}e^{-x}dx,$

d’où il est aisé de conclure

$\int x^{p}e^{-x}dx=1.2.3\ldots p.$

Le maximum de $y$ a lieu lorsque $x=p,$ ce qui donne $p^{p}e^{-p}$ pour ce maximum ; soient donc $p={\frac {1}{\alpha }}$ et $x={\frac {1}{\alpha }}+\theta ,$ on aura

$\log y-\log p^{p}e^{-p}={\frac {1}{\alpha }}\log(1+\alpha \theta )-\theta \,;$

donc

Si l’on fait

$\log(1+\alpha \theta )-\alpha \theta =-\alpha t^{2},$

on aura

${\frac {\alpha \theta ^{2}}{2}}-{\frac {\alpha ^{2}\theta ^{3}}{3}}+{\frac {\alpha ^{3}\theta ^{4}}{4}}+\ldots =t^{2}\,;$

soit

$\theta ={\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\left(h+h'\alpha ^{\frac {1}{2}}t+h''\alpha t^{2}+h'''\alpha ^{\frac {3}{2}}t^{3}+\ldots \right),$

on trouvera

$h={\sqrt {2}},\qquad h'={\frac {2}{3}},\qquad h''={\frac {\sqrt {2}}{18}},\qquad \ldots ,$

et l’on aura

$d\theta ={\frac {dt}{\sqrt {\alpha }}}\left(h+2h'\alpha ^{\frac {1}{2}}t+3h''\alpha t^{2}+\ldots \right)\,;$

donc

$\int ydx=p^{p+{\frac {1}{2}}}e^{-p}\int dt\left(h+2h'\alpha ^{\frac {1}{2}}t+3h''\alpha t^{2}+\ldots \right)e^{-x}.$

L’intégrale en $x$ doit être prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty \,;$ or, $x$ étant nul, on a $\theta =-{\frac {1}{\alpha }},$ et par conséquent $t^{2}=\infty \,;\ x$ étant égal à $\infty ,$ on a $\theta =\infty ,$ partant $t^{2}=\infty \,;$ on doit donc prendre l’intégrale relative à $dt$ depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty ,$ d’où l’on tire, par l’article XXIII,

$\int ydx=p^{p+{\frac {1}{2}}}e^{-p}{\sqrt {\pi }}\left(h+1.3{\frac {\alpha h''}{2}}+1.3.5{\frac {\alpha ^{2}h^{\text{ıv}}}{2^{2}}}+\ldots \right),$