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La formule $(s)$ de l’article XXIII donnera donc

$k={\frac {{\sqrt {2\alpha \pi }}\mu ^{q+{\frac {1}{2}}}}{(1+\mu )^{p+q+{\frac {3}{2}}}}}\left\{1+{\frac {\alpha [(1+\mu )^{2}-13\mu ]}{12\mu (1+\mu )}}+\ldots \right\},$

ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans l’article XVIII.

Si $\mu =1,$ ou, ce qui revient au même, si $p=q,$ on déterminera plus simplement de la manière suivante les coefficients de la série en $t,$ qui exprime la valeur de $\theta \,;$ pour cela, on observera que, dans ce cas,

$\log \mathrm {A} -\log y=-{\frac {1}{\alpha }}\log \left(1-4\theta ^{2}\right)=t^{2},$

ce qui donne

$1-4\theta ^{2}=e^{-\alpha t^{2}}$

et

$2\theta =\left(1-e^{-\alpha t^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}.$

Soit

$\left(1-e^{-\alpha t^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=2\alpha ^{\frac {1}{2}}t\left(l+l'\alpha t^{2}+l''\alpha ^{2}t^{4}+l'''\alpha ^{3}t^{6}+\ldots \right)\,;$

en prenant les différentielles logarithmiques des deux membres de cette équation et multipliant en croix, on aura

$\alpha t^{2}e^{-\alpha t^{2}}\left(l+l'\alpha t^{2}+l''\alpha ^{2}t^{4}+\ldots \right)$

$=\left(l+3l'\alpha t^{2}+5l''\alpha ^{2}t^{4}+\ldots \right)\left(1-e^{-\alpha t^{2}}\right)\,;$

or on a

$e^{-\alpha t^{2}}=1-\alpha t^{2}+{\frac {\alpha ^{2}t^{4}}{1.2}}-{\frac {\alpha ^{3}t^{6}}{1.2.3}}+\ldots .$

Si l’on substitue cette valeur dans l’équation précédente, on aura entre les coefficients $l,l',l'',l''',\ldots$ les équations suivantes

${\begin{aligned}2l'+{\frac {l}{1.2}}=&0,\\4l''-{\frac {l'}{1.2}}-{\frac {2l}{1.2.3}}=&0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \end{aligned}}$

et généralement

${\begin{aligned}0=2il^{(i)}&-(2i-3){\frac {l^{(i-1)}}{1.2}}+(2i-6){\frac {l^{(i-2)}}{l.2.3}}\\&-(2i-9){\frac {l^{(i-3)}}{1.2.3.4}}+(2i-12){\frac {l^{(i-4)}}{1.2.3.4.5}}-\ldots .\end{aligned}}$