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d’où l’on tire

$\mathrm {C} ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi '{\sqrt {2\pi }}}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {C} '={\frac {\pi ^{\frac {3}{4}}}{4{\sqrt {\pi '{\sqrt {2\pi }}}}}}.$

XXV.

Pour appliquer la théorie précédente à quelques exemples, soit

$y=x^{p}(1-x)^{q}\,;$

en faisant $p={\frac {1}{\alpha }}$ et $q={\frac {\mu }{\alpha }},$ on aura, dans le cas du maximum de $y,$

$x={\frac {1}{1+\mu }},$

partant (art. XXIII)

$\mathrm {A} ={\frac {\mu ^{q}}{(1+\mu )^{p+q}}}$

et

$\alpha \log \mathrm {A} =\mu \log \left({\frac {\mu }{1+\mu }}\right)+\log \left({\frac {1}{1+\mu }}\right)\,;$

on a d’ailleurs

$\alpha \log y=\log x+\mu \log(1-x),$

et, si l’on fait

$x={\frac {1}{1+\mu }}+\theta ,$

on aura

$\alpha \log y=\mu \log \left({\frac {\mu }{1+\mu }}-\theta \right)+\log \left({\frac {1}{1+\mu }}+\theta \right)\,;$

donc

${\begin{aligned}\log \mathrm {A} -\log y=&-{\frac {1}{\alpha }}\log \left[1+(1+\mu )\theta \right]-{\frac {\mu }{\alpha }}\log \left(1-{\frac {1+\mu }{\mu }}\theta \right)\\=&{\frac {(1+\mu )^{2}(1+\mu )}{2\alpha \mu }}\theta ^{2}+{\frac {(1+\mu )^{3}\left(1-\mu ^{2}\right)}{3\alpha \mu ^{2}}}\theta ^{3}\end{aligned}}$

$+{\frac {(1+\mu )^{4}\left(1+\mu ^{3}\right)}{4\alpha \mu ^{3}}}\theta ^{4}+\ldots ,$

d’où l’on tirera, en vertu de la formule $(z)$ de l’article XXIII,

${\begin{aligned}\alpha ^{\frac {1}{2}}h\quad =&{\frac {\sqrt {2\mu \alpha }}{(1+\mu )^{\frac {3}{2}}}},\\\alpha ^{\frac {3}{2}}h^{(2)}=&{\frac {\alpha {\sqrt {2\mu \alpha }}}{(1+\mu )^{\frac {3}{2}}}}{\frac {\left[(1+\mu )^{2}-13\mu \right]}{18\mu (1+\mu )}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$