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en faisant ${\frac {x}{\left(1-z^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}}=x',$ elle se changea dans celle-ci

$\int {\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}\int {\frac {dx'}{\left(1-x'^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}},$

ces intégrales étant prises depuis $x'=0$ et $z=0$ jusqu’à $x'=1$ et $z=1,$ ce qui donne

$\int {\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}={\frac {\pi }{2}}\qquad {\text{et}}\qquad \int {\frac {dx'}{\left(1-x'^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}}=\mathrm {E} \,;$

on aura donc

$\iint {\frac {dxdz}{\left(1-z^{2}-x^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}}={\frac {\pi \mathrm {E} }{2}}.$

Si l’on fait ensuite ${\frac {z}{\sqrt {1-x'^{4}}}}=z',$ on aura

$\iint {\frac {dxdz}{\left(1-z^{2}-x^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}}=\int {\frac {dx}{\sqrt[{4}]{1-x^{4}}}}\int {\frac {dz'}{\left(1-z'^{2}\right)^{\frac {3}{4}}}}\,;$

or on a

$\int {\frac {dx}{\sqrt[{4}]{1-x^{4}}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}.$

D’ailleurs, si l’on suppose $1-z'^{2}=t^{4},$ on aura

$\int {\frac {dz'}{\left(1-z'^{2}\right)^{\frac {3}{4}}}}=-2\int {\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}},$

l’intégrale relative à $t$ étant prise depuis $t=1$ jusqu’à $t=0\,;$ cette intégrale est évidemment égale à $-\pi '\,:$ donc

$\int {\frac {dz'}{\left(1-z'^{2}\right)^{\frac {3}{4}}}}=2\pi ',$

ce qui donne

$\iint {\frac {dxdz}{\left(1-z^{2}-x^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}}={\frac {\pi \pi '}{\sqrt {2}}}={\frac {\pi \mathrm {E} }{2}},$

partant

$\mathrm {E} =\pi '{\sqrt {2}},$