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Soit $s=s'^{2},$ et l’on aura

$\int e^{-s^{2}}{\frac {ds}{\sqrt {s}}}=2\int e^{-s'^{4}}ds'=2\mathrm {C} ,$

partant

$\iint e^{-s^{2}\left(1+u^{4}\right)}dsdu=2\mathrm {C} ^{2}.$

Supposons maintenant $s{\sqrt {1+u^{4}}}=s'',$ et nous aurons

$\iint e^{-s^{2}\left(1+u^{4}\right)}dsdu=\int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{4}}}}\int e^{-s''^{2}}ds''={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{4}}}}\,;$

en nommant donc $\mathrm {E}$ l’intégrale $\int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{4}}}},$ prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=\infty ,$ on aura

$2\mathrm {C} ^{2}={\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {\pi }},$

ce qui donne

$\mathrm {C} ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\mathrm {E} {\sqrt {\pi }}}}.$

Si l’on fait ${\frac {1}{1+u^{4}}}=s^{4},$ on aura

$\int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{4}}}}=-\int {\frac {ds}{\left(1-s^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}},$

l’intégrale relative à $s$ étant prise depuis $s=1$ jusqu’à $s=0,$ en sorte que

$\int {\frac {du}{\sqrt {1+u^{4}}}}=E=\int {\frac {ds}{\left(1-s^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}},$

l’intégrale relative à $s$ étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=1.$

Considérons présentement la double intégrale $\iint {\frac {dxdz}{\left(1-z^{2}-x^{4}\right)^{\frac {3}{4}}}},$
prise ^[1] depuis $x=0$ jusqu’à $x=1$ et depuis $z=0$ jusqu’à $z=1\,;$

1. Il faut sans doute comprendre que cette intégrale doit être étendue à toutes les valeurs positives de $x$ et de $z$ vérifiant l’inégalité
   $1-z^{2}-x^{4}>0,$

   de sorte que, pour une valeur donnée de $z,\ x$ varie de $0$ à $\left(1-z^{2}\right)^{\frac {1}{4}}\,;\ x$ augmentant encore jusqu’à $1,$ l’élément différentiel deviendrait imaginaire.

   (Note de l’éditeur.)